高等數(shù)學第四單元不定積分

1、<p>　　第四單元 不定積分</p><p>　　4-1 不定積分的概念與性質 換元積分法</p><p><b>　　[教學基本要求]</b></p><p>　　高等數(shù)學 理解原函數(shù)與不定積分的概念、性質以及積分與導數(shù)（微分）的關系。熟記不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。會求簡單的有理函數(shù)的積分。

2、</p><p>　　微積分 理解原函數(shù)與不定積分的概念、性質以及積分與導數(shù)（微分）的關系。熟記不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。</p><p><b>　　[知識要點]</b></p><p>　　原函數(shù)與不定積分的概念</p><p>　　若，則稱是的一個原函數(shù). 若是的一個原函數(shù)，則的原

3、函數(shù)的一般表達式為(為任意常數(shù)). 的原函數(shù)的一般表達式稱為的不定積分, 記為，即.</p><p>　　注意 ① 不定積分和原函數(shù)是兩個不同概念，前者是集合，后者是該集合中的一個元素，因此② 設均是在區(qū)間中的原函數(shù)，則</p><p><b>　　基本性質</b></p><p>　　（1）(是不為零的常數(shù)).</p><

4、p><b>　　（2）或；</b></p><p>　　（3）或（是任意常數(shù)）</p><p><b>　　基本積分公式(略)</b></p><p><b>　　積分方法</b></p><p>　　(1) 分項積分法: (為常數(shù)).</p><p

5、>　　分項積分法的依據(jù)是不定積分的線性性質，其作用在于將復雜函數(shù)的積分轉化為簡單的函數(shù)的積分.</p><p>　?。?） 第一換元積分法(湊微分法)</p><p><b>　　若, 且連續(xù), 則</b></p><p><b>　　基本思路： </b></p><p>　　常見的12種湊微

6、分形式</p><p>　?。?）第二換元積分法</p><p>　　若連續(xù)，有連續(xù)導數(shù)，，且</p><p><b>　　，則</b></p><p><b>　　基本思路：</b></p><p>　　第二換元法的要點在于：通過新變量的引入，使得積分的形式改變（比如去根號

7、）而易于積分. 常見的變量代換有如下幾種:</p><p>　　(ⅰ)三角函數(shù)代換: 利用三角代換，變根式積分為三角有理式積分.</p><p>　　(ⅱ) 倒代換（）,也是一種很重要的變量代換，利用倒變換?？上ケ环e函數(shù)分母中的變量因子（或），其中為正整數(shù).</p><p>　?。á＃┲笖?shù)代換（令），適用于由冪函數(shù)所構成的代數(shù)式.</p><p

8、><b>　　[錯題解析]</b></p><p>　　例1、 選擇題 下列命題中不正確的為 ( )</p><p>　　若在區(qū)間內的某個函數(shù)是常數(shù)，則在內恒為零；</p><p>　　若的某個函數(shù)為零，則的所有原函數(shù)都是常數(shù)；</p><p>　　若在內不是連續(xù)函數(shù)，則在這個區(qū)間內必無原函數(shù)；</p

9、><p>　　若為的任意一個原函數(shù)，則為在內的連續(xù)函數(shù).</p><p><b>　　解 正確答案為</b></p><p>　　分析：對于命題，如果存在一個原函數(shù)為常數(shù)，則在內任意一點都有 可知命題正確.</p><p>　　對于命題，若為的一個原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）為的所有原函數(shù)．可知命題正確.</p>

10、<p>　　對于命題，可先考慮下面的例子： </p><p>　　在內不連續(xù)，為其間斷點，但是</p><p>　　則有在內每點都成立．因此說為在內的原函數(shù)．此例表明的說法不正確．</p><p>　　若為的原函數(shù)，則由原函數(shù)的定義可知必有．由可導與連續(xù)的關系可知，必為連續(xù)函數(shù)．因此命題正確．</p><p>　　例２、選擇題　下

11、列命題正確的有（　?。?lt;/p><p><b>　　解　正確答案為</b></p><p>　　分析：由不定積分的性質，可知：</p><p><b>　　即正確，不正確．</b></p><p>　　表示下對積分，再對求導，因此，這表明正確，而不正確．</p><p>　

12、　利用不定積分的基本性質與基本積分公式求解不定積分是最基本的求積方法．對于一些不屬于基本積分公式形式的積分，其求解的思路是：將所給積分經(jīng)過恒等變形轉化為基本積分形式．常見的轉化方式有兩類：</p><p>　　利用代數(shù)或三角恒等變形，將被積函數(shù)轉化為幾個基本積分形式的代數(shù)和．</p><p>　　利用微分運算將被積表達式轉化為基本積分公式形式．</p><p>&l

13、t;b>　　[典型例題補充]</b></p><p>　　例1、（１）；　　（２）</p><p>　　分析：所給積分不屬于基本積分公式形式，利用代數(shù)恒等變形和三角恒等變形．</p><p><b>　　解：（１）原式＝</b></p><p><b>　?。ǎ玻┰剑?lt;/b>&l

14、t;/p><p>　　例2、求下列不定積分：（1）；?。?）；　（３）</p><p>　　分析： 對于（1），常見有下列兩種變形：</p><p><b>　?、佟。虎凇?lt;/b></p><p>　?。ǎ保┙夥ㄒ?原式</p><p><b>　　解法二 原式</b><

15、;/p><p>　?。ǎ玻┙夥ㄒ弧∫驗?，所以，則有</p><p>　　注：此種解法較簡便，它是一種常見的積分類型：</p><p>　　解法二 首先把被積函數(shù)進行分項，然后利用湊微分法求出．</p><p><b>　　原式</b></p><p>　　解法三　在這里只做一個提示：</p&g

16、t;<p>　?。ǎ常┙夥ㄒ弧∮捎?，則有</p><p><b>　　原式</b></p><p><b>　　解法二　原式</b></p><p>　　注：這種解法是將公式中的用可微函數(shù)替代，</p><p><b>　　一般地有</b></p>

17、<p>　　例3、（１）；　　?。ǎ玻?lt;/p><p><b>　　解　（１）因為</b></p><p><b>　　故，原式＝</b></p><p>　　注意：這里用了兩次湊微分．本題也可由　，而得出</p><p><b>　?。ǎ玻┮驗?lt;/b></p&

18、gt;<p><b>　　所以　原式＝</b></p><p>　　注意：這兩個題都是將被積函數(shù)的一部分求微分，而得出相應的湊微分形式．這類題目有一定難度，不太容易看出，因此，熟記基本積分公式，熟練掌握函數(shù)的微分運算是很重要的．</p><p>　　例4、 求下列不定積分：（1）； （2）</p><p><

19、b>　　解：（１）原式</b></p><p><b>　?。ǎ玻┰?lt;/b></p><p>　　注：被積函數(shù)分母中含有三角函數(shù)時，常提取余弦平方，然后利用</p><p><b>　　或．</b></p><p>　　例5、設在可導，，，求</p><p&g

20、t;　　[分析] 由不定積分的性質可知，因此對照題設可知，只需由的表達式求出即可．</p><p><b>　　解：令得，</b></p><p><b>　　由知，故　</b></p><p><b>　　例6、計算</b></p><p><b>　　解：，有原式

21、</b></p><p>　　由原函數(shù)的連續(xù)性知，</p><p><b>　　，于是，原式</b></p><p>　　例7、用換元法求下列不定積分</p><p>　?。ǎ保?；　　　?。ǎ玻?lt;/p><p>　　解：（１）為了消去被積函數(shù)中的根號，令，則</p>&l

22、t;p><b>　?。谑?，原式</b></p><p>　?。ǎ玻┙夥ㄒ弧”环e函數(shù)中含有型根式，用三角代換法．</p><p><b>　　令，則，于是可得</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　為了還原變量，根據(jù)，作直角三角形，得 ，

23、 </p><p>　　于是可得原式 </p><p><b>　　t 3</b></p><p>　　解法二　作變量代換，可令，則有，于是</p><p><b>　　原式</b>

24、</p><p>　　注：用換元積分法求不定積分時，應注意各題中被積函數(shù)的特征，使用相應的基本解法，在有多種解法時，一般而言，用第一換元法（湊微分法）較用第二換元法方便．</p><p><b>　?。壅n堂練習］</b></p><p><b>　　一、填空題</b></p><p>　　１．若，而

25、，則　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　２．　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　３．　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　?。矗阎?，則　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　?。担O，則　　　　　　　　　?。?lt;/p><p><b>　　二、選擇題</b>

26、</p><p>　?。保瘮?shù)的原函數(shù)有（　　　?。?lt;/p><p>　　２．若，則（　　　?。?lt;/p><p>　　３．若，且，則（　　　?。?lt;/p><p><b>　　４．（　　　?。?lt;/b></p><p>　　５．若，則（　　　　）．</p><p>&l

27、t;b>　　三、求下列不定積分</b></p><p>　?。保弧　　　　　　　　　。玻?lt;/p><p>　?。常　　　　　　　　　。矗?lt;/p><p><b>　　５．設，求</b></p><p><b>　?。叮O　，求</b></p><p>

28、　　答案：一、1．；　　　?。玻ㄌ崾荆海?；</p><p>　　３．；　　４．；　　　５．</p><p>　　二、１．（Ｂ）；?。玻ǎ模弧。常ǎ拢弧。矗ǎ粒?；　５．（Ｂ）．</p><p>　　三、１．．（提示：）</p><p><b>　?。玻。ㄌ崾荆海?lt;/b></p><p>

29、;　?。常　。ㄌ崾荆?）</p><p>　?。矗ㄌ崾荆海ǎ保ǎ玻├脺愇⒎址ǎ?lt;/p><p><b>　　）</b></p><p><b>　?。担ㄌ崾荆河桑?lt;/b></p><p><b>　?。唬叮?lt;/b></p><p>　?。?/p>

30、提示：　由原函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，知，記，即得出．）</p><p>　　4-2 不定積分的分部積分法</p><p><b>　　[教學基本要求]</b></p><p>　　高等數(shù)學 掌握不定積分的分部積分法；明了選取和的原則．會求簡單的有理函數(shù)積分．</p><p>　　微積分　掌握不定積分的分部積分法；明了

31、選取和的原則．</p><p><b>　　[知識要點]</b></p><p><b>　　1.分部積分法</b></p><p>　　分部積分法也是求不定積分的基本方法. 其基本思想是把一個較復雜的積分轉化為較簡單的積分；或者通過兩次分部積分, 將問題“間接”解出．</p><p>　　分部積分

32、法與微分法的乘積求導法相對應. 公式為</p><p>　　分部積分法解決的主要問題是:被積函數(shù)中含有對數(shù)或反三角函數(shù)；或者為函數(shù)的連乘形式. 如三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)與多項式的乘積；三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積等.</p><p>　　應用這個方法的難點在于將積分恰當?shù)嘏涑傻男问? 使得容易積分. 一般選取和的一般原則為:</p><p>　　（1）等形式，其中

33、為的多項式. 一般?。?lt;/p><p>　?。?）等形式，其中為的多項式. 一般取等.</p><p>　?。?）等形式，可取其中兩個因子中的任意一個. 此時需經(jīng)過兩次分部積分, 通過解方程, 使不定積分“間接”求出. 但是必須注意: 連續(xù)使用分部積分公式時選取的為同種類型. 否則, 將會出現(xiàn)這樣的方程.</p><p>　　2. 有理函數(shù)的積分</p>

34、<p>　　假分式可以分解為多項式與真分式之和. 而真分式可以分解為部分分式之和, 而分解后的部分分式往往教易計算. 但有時對于一些特殊問題?？刹扇∧承┘记梢院喕\算.</p><p>　　對于三角函數(shù)的有理式計算, 常采取萬能代換公式, 進而轉換為有理函數(shù)的積分.</p><p><b>　　[典型例題補充]</b></p><p&

35、gt;　　例1、（1）； （2）</p><p><b>　　解 （1）原式</b></p><p>　　注意：① 此題采用了分項技巧,簡化了計算；② 此題也可用三角變換：求出.</p><p>　　（2）原式, 若令, 則</p><p><b>　　原式</b></p>

36、;<p>　　注: 在上述運算中引入, 簡化了運算, 這種運算技巧值得學習.</p><p>　　例2、(1) ； (2)</p><p>　　解：(1) 此題需兩次使用分部積分公式:</p><p><b>　　經(jīng)移項整理, 得</b></p><p>　　注意: 此題在移項整理過程中

37、并沒有任意常數(shù), 而整理之后添加了常數(shù). 這是因為原來式中兩端都含有不定積分符號, 不定積分號中已隱含了任意常數(shù)；整理之后式中僅左端有不定積分號；而不定積分本身表示原函數(shù)的全體, 因此必須在等號右端添加任意常數(shù).</p><p><b>　　(2) </b></p><p>　　注意: 有時將原不定積分拆成兩個不定積分，將其中一個用分部積分法，可得與另一個不定積分形式

38、完全相同，但符號相反的不定積分，從而“抵消”， 最后結果需加任意常數(shù).</p><p>　　例3、（1） ；　?。?）</p><p>　　分析：本例需綜合利用湊微分法、換元法和分部積分法求解．</p><p><b>　　解 :原式</b></p><p>　　解二： 先作變量代換,再用分部積分法,可令,則(),.&l

39、t;/p><p><b>　　原式</b></p><p>　　解三：先用換元法,然后再分部積分.可令,　則</p><p><b>　　于是可得</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　注：應注意多種積分法的綜合運用．<

40、/p><p>　　（2）分析：此例是分部積分法的典型例子，在被積函數(shù)的兩因式中取出部分先積分，得到原函數(shù)后便可與另一個因式的導數(shù)再積分得出結果．</p><p><b>　　由 </b></p><p><b>　　知，原式</b></p><p>　　例4、已知的一個原函數(shù)是，求</p>

41、<p><b>　　解：由已知 ，則</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　例5、 求下列不定積分（1） ； （2）</p><p><b>　　解：（1）原式</b></p><p>　?。?）解法一 設 ，</p>

42、;<p><b>　　去分母，得</b></p><p>　　比較兩端同次冪的系數(shù)，得</p><p><b>　　于是 </b></p><p>　　解法二：因為分母的次冪比分子的次冪高， 因此可采用倒變換計算．令，則</p><p><b>　　，于是</b&g

43、t;</p><p>　　解法三：設，則，于是</p><p>　　注：由于（1）被積函數(shù)分子的次冪比分母的次冪高，積分時先將被積函數(shù)化為整式和一個真分式的和．有理函數(shù)的積分有兩種方法：①標準方法（如(2)的解法一，其計算量較大）；②綜合方法（如(2)的解法二、解法三）．利用代數(shù)知識盡可能簡化為部分分式的計算，　比較常用．</p><p>　　例6、 求三角函數(shù)有理

44、式的積分</p><p><b>　　解法一 令，得</b></p><p><b>　　解法二 </b></p><p><b>　　因此 </b></p><p>　　注：① 令，適用于三角函數(shù)有理式積分的各種情況，但不一定是最好的方法．②　解法二的方法比較簡便．一

45、般地，求解 時，可將分子化成，其中為已知常數(shù)，由上式定出，則原式</p><p>　　例7、設是的原函數(shù)，且當時.</p><p><b>　　已知，試求</b></p><p>　　解:是的原函數(shù),．由題設知,</p><p><b>　　兩邊積分，得</b></p><p&g

46、t;　　由于，代入上式，得　又有，可得　</p><p><b>　　故　　</b></p><p>　　注：此題的關鍵是利用了；另外，在求積分的過程中，并沒有求出，而是通過求，可以“抵消”，從而使計算得到簡化．</p><p><b>　　[單元測試]</b></p><p><b>　

47、　A組練習</b></p><p><b>　　一、填空題</b></p><p>　　1、設為可導函數(shù)，則　　　　　　　　　　．</p><p>　　2、　　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　3、　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　4、設函數(shù)的二階導數(shù)連續(xù)

48、，那么　　　　　　　　．</p><p>　　5、若，則　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p><b>　　二、單項選擇題</b></p><p>　　1、一個函數(shù)如果有原函數(shù)，則它一定有（ 　 ）原函數(shù)．</p><p>　?。ǎ粒┮粋€；?。ǎ拢﹥蓚€；　?。ǎ茫o窮多個；　?。ǎ模┒疾粚Γ?lt;/p>

49、<p>　　2、若，則（　　?。?lt;/p><p>　　（Ａ）；?。ǎ拢?；　（Ｃ）；　（Ｄ）</p><p><b>　　3、（　　?。?lt;/b></p><p>　?。ǎ粒　　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　　（Ｃ）　　　　　　　?。ǎ模?lt;/p><p><b>　　4、（　

50、　　）．</b></p><p>　?。ǎ粒　　　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ茫　　　　　。ǎ模?lt;/p><p><b>　　5、（　　　　）．</b></p><p>　?。ǎ粒　　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ茫　　　　。ǎ模?lt;/p><p

51、><b>　　三、計算題</b></p><p>　　1、　　　 2、 </p><p>　　3、 4、 </p><p>　　5、 6、</p><p><b>　　7、已知，且，求 </b></p&

52、gt;<p><b>　　四、應用題</b></p><p>　　1、已知曲線上任一點的二階導數(shù)，且在曲線上處的切線為，求這條曲線的方程．</p><p>　　2、在積分曲線族中，過點的曲線為，求點的橫坐標。</p><p>　　五、證明題：設 求證：</p><p>　　A組答案：一、1、　

53、 2、　 3、　</p><p><b>　　4、　　 5、</b></p><p>　　二、1、（Ｃ） 2、（Ｄ） 3、（Ａ） 4、（Ｄ） 5、（Ｂ）</p><p>　　三、1、 2、</p><p><b>　　3、　　4、</

54、b></p><p><b>　　5、</b></p><p><b>　　6、 7、</b></p><p>　　四、1、 2、</p><p><b>　　B組練習</b></p><p><b>　　一、填空題&l

55、t;/b></p><p>　　1、　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　2、　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　3、　　　　　　　　　　　　　　　．</p><p>　　4、設的原函數(shù)為，則　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　5、　　　　　　　　　　　?。?lt;/p>

56、;<p><b>　　二、單項選擇題</b></p><p>　　1、已知，則（　　　?。?lt;/p><p>　?。ǎ粒　　　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ拢　　　　。ǎ模?lt;/p><p><b>　　2、（　　　?。?lt;/b></p><p>　　（

57、Ａ）　　　　　　　　（Ｂ）</p><p>　?。ǎ茫　　　　　　　。ǎ模?lt;/p><p><b>　　3、（　　　　）．</b></p><p><b>　?。ǎ粒ǎ拢?lt;/b></p><p>　?。ǎ茫　　　　　。ǎ模?lt;/p><p>　　4、 （

58、 ）．</p><p>　?。ǎ粒　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ茫　　　　　。ǎ模?lt;/p><p>　　5、已知，其中及，則（　　　?。?lt;/p><p>　?。ǎ粒　　　　　　　　。ǎ拢?lt;/p><p><b>　?。ǎ茫。ǎ模?lt;/b></p><p>

59、<b>　　三、計算題</b></p><p>　　1、　　　 2、 </p><p>　　3、 4、 </p><p>　　5、 6、</p><p>　　7、設是的原函數(shù)，當時，有，且</p><p&g

60、t;<b>　　，試求</b></p><p><b>　　四、應用題</b></p><p>　　1、已知曲線上任意點的切線的斜率為，且時，是極大值，求及它的極小值．</p><p>　　2、在平面上有一運動的質點，它在X軸方向和Y軸方向的分速度分別為，</p><p>　　，且，求質點在時間的所

61、在位置。</p><p>　　五、證明題：設，可微，且的反函數(shù)存在，則</p><p>　　B組答案：一、1、　　　2、或</p><p>　　3、　 4、　 5、</p><p>　　二、1、（Ｂ）；　 2、（Ｄ）；　 3、（Ｃ）；　 4、（Ａ）；　 5、（Ｃ）．</p><p&

62、gt;<b>　　三、1、</b></p><p><b>　　2、或</b></p><p>　?。ㄌ崾荆河萌f能代換公式化為有理函數(shù)積分或利用）</p><p>　　3、（提示：令，然后利用分部積分法）； 4、（提示：利用分部積分法）</p><p>　　5、（提示：利用倒變換：）</p