畢業(yè)論文-留數(shù)與三角變換求定積分的比較

1、<p>　　各專業(yè)完整優(yōu)秀畢業(yè)論文設(shè)計(jì)圖紙</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　目錄……………………………………………………… ………………………………Ⅰ</p><p>　　摘要…………………………………………………………… …………………………Ⅱ</p><p>　　關(guān)鍵

2、詞…… ………………………………………………………………………………Ⅱ</p><p>　　1 引言… …………………………………… ……………………… ……………………1</p><p>　　2 預(yù)備知識(shí) …………………………………………………………… …………………1</p><p>　　2.1基本定義及定理 ……………………… ……………………… ………………

3、…1</p><p>　　2.2三角變換公式 …………… ………………………………………………… ……1 </p><p>　　3 留數(shù)理論及三角變換在定積分中的應(yīng)用 ………………………… …………………2</p><p>　　3.1 三角函數(shù)定積分的復(fù)數(shù)等價(jià)形式……………………………… …………………2

4、 </p><p>　　3.2 求三角函數(shù)定積分的比較探討 ……… …………………… …… ………………2</p><p>　　3.3 形如和定積分的復(fù)數(shù)等價(jià)形式…… ……6</p><p>　　3.4形如和定積分的比較探討 ………… ……7</p><p>　　4 留數(shù)理論與三角變換在定積分中的應(yīng)用比

5、較小結(jié) …………………… ……………8</p><p>　　5 結(jié)束語(yǔ)……………………………………………………………………………………8</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………………………9</p><p>　　留數(shù)與三角變換求定積分的比較</p><p>　　摘 要:在計(jì)算某些三角有理函數(shù)的定積分

6、時(shí)，用三角變換公式等方法計(jì)算往往是十分麻煩的?；蛘卟灰浊蟪鲞@些三角函數(shù)的積分值，甚至有的定積分存在但求不出來(lái)。如果應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算這些三角函數(shù)的積分就顯得比較簡(jiǎn)潔，而且有助于定積分計(jì)算思路的擴(kuò)展，促進(jìn)數(shù)學(xué)計(jì)算方法之間的聯(lián)系。</p><p>　　關(guān)鍵詞:定積分;留數(shù);三角變換</p><p>　　Comparison of residue triangle transform to fin

7、d definite integrals</p><p>　　Gao Minggui</p><p>　　(grade 2009 class(1),Mathematics and applied mathematics,School of Mathematical Science ) </p><p>　　Abstract: In calculation the d

8、efinite integral of a rational function of some triangle, triangle transformation formula is often very troublesome. or difficult to find the integral value of these trigonometric functions ,and even some fixed integral

9、exists but demand does not come out. if the application to calculate these trigonometric integral residue theory is relatively simple, but also helps a the calculated integral extension of the idea to promote the connect

10、ion between the mathematical c</p><p>　　Key words: definite integral; residue ; trigonometrical transform</p><p><b>　　1 引言 </b></p><p>　　近年來(lái)為適應(yīng)教育改革而提倡的研究性學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)新時(shí)代學(xué)生的創(chuàng)新

11、能力產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)方式[1]。也就是說(shuō)對(duì)一些重點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行專題研究，對(duì)思維能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合應(yīng)用知識(shí)的能力的提高顯得尤為重要。</p><p>　　在求三角有理函數(shù)的定積分問(wèn)題上，很多資料都是先用三角變換公式化為一般函數(shù)的定積分；然后再利用換元法、公式法、分部積分法等方法來(lái)計(jì)算。這些方法雖然都能達(dá)到計(jì)算目的也各有千秋，但是存在一個(gè)最大的缺點(diǎn)：計(jì)算量大且計(jì)算繁瑣，給學(xué)習(xí)帶來(lái)了不便，甚至有的定積分存在但求不

12、出來(lái)[1]。針對(duì)應(yīng)用三角變換公式存在的缺點(diǎn)，通過(guò)對(duì)應(yīng)用留數(shù)理論與三角變換求三角有理函數(shù)定積分的比較，發(fā)現(xiàn)解決三角函數(shù)定積分更為簡(jiǎn)便的方法。從而對(duì)用一般方法很難求得的三角有理函數(shù)定積分應(yīng)用留數(shù)理論進(jìn)行求解。其要點(diǎn)是將定積分化歸為復(fù)變函數(shù)的圍線積分，然后利用留數(shù)理論進(jìn)行求解。</p><p><b>　　2 預(yù)備知識(shí)</b></p><p>　　2.1基本定義及定理<

13、;/p><p>　　定義2.1設(shè)是的孤立奇點(diǎn),在的洛朗展式為，稱這個(gè)展式的負(fù)一次的系數(shù)為在點(diǎn)的留數(shù)（residue），記為或[2]。</p><p>　　定理2.1設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限孤立奇點(diǎn)…外處處解析,是內(nèi)包含諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,則:[2]。 2.2三角變換公式</p><p><b>　　令，則有</b>&l

14、t;/p><p><b>　　所以有</b></p><p>　　[3]；其中是一條簡(jiǎn)單的封閉曲線。 </p><p>　　3 留數(shù)理論與三角變換在定積分中的應(yīng)用</p><p>　　3.1三角函數(shù)定積分的復(fù)數(shù)等價(jià)形式</p><p>　　這里是分母恒不為零的三角有理函數(shù)，并且在上連續(xù)。在進(jìn)行此類函

15、數(shù)的定積分計(jì)算時(shí)要注意以下幾點(diǎn):第一是積分上下限之差為，這樣當(dāng)作定積分時(shí)從經(jīng)歷變到，對(duì)應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周；第二是被積函數(shù)是以正弦或余弦函數(shù)為自變量。當(dāng)滿足這兩個(gè)特點(diǎn)之后，可設(shè)，則</p><p><b>　　[4]</b></p><p>　　其中是一條簡(jiǎn)單的封閉曲線，這里的關(guān)鍵一步是引進(jìn)了變數(shù)代換。至于被積函數(shù)上的連續(xù)性不必先檢驗(yàn)，只要看變換后的被

16、積函數(shù)在上是否有奇點(diǎn)。</p><p>　　3.2求三角函數(shù)定積分的比較探討</p><p>　　留數(shù)是與封閉曲線上的復(fù)積分相聯(lián)系的。因此定積分要想利用留數(shù)來(lái)計(jì)算就面臨兩個(gè)問(wèn)題：一是要將定積分的被積函數(shù)中的實(shí)函數(shù)變?yōu)閺?fù)函數(shù)，而且是解析函數(shù)，這一點(diǎn)是容易做到的。因?yàn)閷?shí)積分的被積函數(shù)是初等函數(shù)，不難推廣到復(fù)數(shù)域內(nèi)；二是要將定積分的積分區(qū)間轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單閉曲線上的圍線積分，一般采用代換或者添加輔助曲

17、線[5]，并且輔以極限概念來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于個(gè)別在實(shí)軸上存在奇點(diǎn)的，還需要對(duì)分?jǐn)?shù)路稍作變化調(diào)整。為了能夠直觀形象的說(shuō)明問(wèn)題，下面以具體實(shí)例的形式來(lái)體現(xiàn)它在實(shí)際生活中的運(yùn)用。</p><p><b>　　例1 計(jì)算</b></p><p><b>　　解法一：留數(shù)定理</b></p><p><b>　　令，則 <

18、/b></p><p>　　由于被積函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn)，</p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　所以由留數(shù)定理得</b></p><p><b>　　解法二：三角變換法</b></p><p><b>

19、;　　則；所以</b></p><p>　　從上面兩種求解方法對(duì)比可以看到，解法一應(yīng)用了留數(shù)理論進(jìn)行積分求解，計(jì)算量較小，思路清晰；解法二運(yùn)用了三角變換公式將三角函數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為求無(wú)窮積分的解，計(jì)算量較大,思維量大。通過(guò)兩種解法的比較，顯然解法二的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于解法一；這說(shuō)明應(yīng)用留數(shù)理論與三角變換計(jì)算三角函數(shù)定積分的效果是截然不同的。</p><p>　　例2 計(jì)算積分[5]

20、</p><p><b>　　解法一：留數(shù)定理</b></p><p><b>　　令時(shí)，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以：</b></p><p>　　且在圓內(nèi)被積函數(shù)只以z=p為

21、一階極點(diǎn)，在上</p><p>　　無(wú)奇點(diǎn)。從而有 </p><p><b>　　所以由留數(shù)定理得：</b></p><p><b>　　解

22、法二：三角變換法</b></p><p><b>　　令；所以 </b></p><p>　　由這個(gè)例子兩種解法的比較可以看出, 留數(shù)理論大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算量。并且體現(xiàn)了思維的深刻性, 理論的縝密性，給人愉悅的感覺(jué)。這種方法和知識(shí)的滲透，往往會(huì)出現(xiàn)新的蹊徑。由于留數(shù)是與封閉曲線上的復(fù)積分相聯(lián)系的，因此有些定積分并不能直接應(yīng)用留數(shù)理論應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化；下面以實(shí)例

23、的形式進(jìn)一步比較說(shuō)明應(yīng)用留數(shù)理論解決三角函數(shù)定積分的優(yōu)越性和在實(shí)際操作中的應(yīng)用。</p><p><b>　　例3 計(jì)算積分</b></p><p><b>　　解法一：留數(shù)定理</b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　被積函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)分別

24、是，；則 </p><p><b>　　故由留數(shù)定理得：</b></p><p><b>　　解法二：三角變換法</b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　由于本例題的被積函數(shù)是關(guān)于的有理式的積分，在這里使用三角變換公式時(shí)做的

25、代換是，比令稍微簡(jiǎn)單些。但是與留數(shù)理論比較還是略顯復(fù)雜，這進(jìn)一步說(shuō)明留數(shù)理論是解決三角函數(shù)定積分比較好的方法。</p><p>　　例4 計(jì)算積分[7] </p><p><b>　　解：令；則，</b></p><p>　　其中為實(shí)系數(shù)二次方程；</p><p>　　的兩個(gè)相異的實(shí)根由根與系數(shù)的關(guān)系，且顯然，故必有

26、。</p><p>　　于是被積函數(shù)在上無(wú)奇點(diǎn)，在單位圓內(nèi)只有一個(gè)二階極點(diǎn)z=0和一個(gè)一階極點(diǎn)，從而有</p><p>　　從這個(gè)例子的求解觀察可以發(fā)現(xiàn)，雖然運(yùn)用三角變換公式代換進(jìn)行求解也能夠求解出來(lái)。與前面三個(gè)例子對(duì)比，如果應(yīng)用三角變換求解就顯得更為復(fù)雜。而運(yùn)用留數(shù)理論則大大簡(jiǎn)化了計(jì)算量，回避了計(jì)算量大的缺點(diǎn)；并且體現(xiàn)了思維的簡(jiǎn)潔和思路的清晰性，給人一目了然的感覺(jué)，這進(jìn)一步說(shuō)明留數(shù)理論在

27、解決三角函數(shù)定積分問(wèn)題有其獨(dú)特的地方。</p><p>　　3.3 形如和定積分的復(fù)數(shù)等價(jià)形式</p><p>　　這里是分母恒不為零的三角有理函數(shù)，并且是一條連續(xù)的簡(jiǎn)單的封閉曲線;則</p><p><b>　　證明：令</b></p><p><b>　　再令</b></p>&l

28、t;p>　　設(shè)…為內(nèi)處處解析的有限孤立奇點(diǎn)，由留數(shù)定理得：</p><p>　　將上式的實(shí)部和虛部分開(kāi)得： </p><p><b>　　[7]</b></p><p>　　設(shè)其中和為互質(zhì)的多項(xiàng)式，且滿足條件：(1)的次數(shù)較

29、的次數(shù)高，即；(2)在實(shí)軸上有，那么 </p><p>　　[8] 特別地，將上式實(shí)部和虛部分開(kāi)可以得到形如 和。 </p><p>　　3.4形如和定積分的比較探討</p><p>　　對(duì)于三角

30、函數(shù)的定積分都可以用“三角變換”化為有理函數(shù)進(jìn)行積分。但是對(duì)于形如和定積分，在求這類含三角函數(shù)定積分時(shí)，采用三角變換不再可行。對(duì)于這類問(wèn)題的計(jì)算，留數(shù)理論卻為解決這類問(wèn)題而提供了很好的工具。下面通過(guò)實(shí)例的形式來(lái)進(jìn)行探討說(shuō)明應(yīng)用留數(shù)理論解決這類問(wèn)題的可行性和簡(jiǎn)潔性。</p><p><b>　　例5計(jì)算積分</b></p><p><b>　　，</b&

31、gt;</p><p><b>　　，， </b></p><p>　　由于只有一個(gè)一階極點(diǎn)，所以</p><p><b>　　，由留數(shù)定理得：</b></p><p>　　比較上式兩邊實(shí)部和虛部得：</p><p>　　由于上面的例子被積函數(shù)是含的三角函數(shù)有理式定積分，

32、如果運(yùn)用三角變換公式進(jìn)行代換求解，是無(wú)法進(jìn)行計(jì)算的。這里運(yùn)用留數(shù)理論大大減小了運(yùn)算量，而且提升了計(jì)算積分的可行性。這就更充分說(shuō)明了留數(shù)理論的獨(dú)到性，下面再以實(shí)例的形式說(shuō)明其方法在求無(wú)窮積分中的重要應(yīng)用。</p><p><b>　　例6計(jì)算積分[6]</b></p><p>　　解:被積分函數(shù)為偶函數(shù)，所以 </p><p>　　顯然函數(shù)在平面

33、上只有兩個(gè)一階極點(diǎn)且滿足3.3的條件（1）、（2）。</p><p>　　只有在上半平面內(nèi)，由留數(shù)定理有 </p><p>　　從而 </p><p>　　由上面的實(shí)例可以看出，雖然被積函數(shù)含有三角函數(shù)。如果應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中的一般方法或是三角變換對(duì)其積分值進(jìn)行計(jì)算的話，就沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔的公式。就算可以計(jì)算其計(jì)算也是比較繁瑣的

34、，如果利用留數(shù)理論就可以建立一個(gè)統(tǒng)一簡(jiǎn)便的計(jì)算公式。問(wèn)題就可以輕而易舉的得到解決，達(dá)到事半功倍的效果。</p><p>　　4 留數(shù)理論與三角變換在定積分中的應(yīng)用比較小結(jié)</p><p>　　綜上所述，通過(guò)對(duì)以上六個(gè)例子的探討可以看出。應(yīng)用三角變換法求三角函數(shù)定積分的顯著特點(diǎn)是都要經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為求無(wú)窮積分的解的過(guò)程，而計(jì)算無(wú)窮積分是一個(gè)很繁瑣的過(guò)程。通過(guò)兩種方法的比較探討可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)用留數(shù)理論與

35、三角變換法求含三角函數(shù)的定積分，其演算過(guò)程的繁雜程度是不盡相同的；而且對(duì)于含或的三角有理函數(shù)的定積分利用留數(shù)理論和三角變換法對(duì)其進(jìn)行求解所收到的效果更是截然不同，有時(shí)甚至用三角變換法是根本行不通的。但是在計(jì)算有關(guān)三角函數(shù)的定積分的時(shí)候可以避免用三角變換法進(jìn)行求解，而是根據(jù)具體情況選用更為簡(jiǎn)便、可行的解法進(jìn)行求解。從而簡(jiǎn)化計(jì)算量，提升計(jì)算的可行性；讓人思路清晰，一目了然。而留數(shù)理論正是為解決這樣的問(wèn)題而提供的一種重要的工具，這也體現(xiàn)數(shù)學(xué)理

36、論與方法的相互滲透和利用留數(shù)理論求解某些三角函數(shù)定積分的優(yōu)越性。</p><p><b>　　5 結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　分析學(xué)中應(yīng)用三角變換法與用復(fù)變函數(shù)的有關(guān)知識(shí)計(jì)算三角函數(shù)定積分是兩種不同的方法。通過(guò)上面幾個(gè)例子的探討可以看出他們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系， 操作起來(lái)有繁有簡(jiǎn)。但讓人感到興奮的是，數(shù)學(xué)理論與方法的相互滲透可產(chǎn)生若干個(gè)令人拍案叫絕的結(jié)果，這也

37、給數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)指出了一個(gè)可以參考的蹊徑。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]王瑞蘋(píng).論留數(shù)與定積分的關(guān)系——兼談發(fā)散性思維在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用[J].菏澤學(xué)院學(xué)報(bào)，2005.27(02):70-72.</p><p>　　[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004</p&g

38、t;<p>　　[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2008</p><p>　　[4]李漢龍,繆淑賢.復(fù)變函數(shù)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2011</p><p>　　[5]胡娟,李冬.殘數(shù)在定積分中的應(yīng)用[J].科技信息,2008.31:179.</p><p>　　[6]許平,張海亮.留數(shù)定理在定積分中

39、的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012.03:76.</p><p>　　[7]文敏思,歐陽(yáng)露莎.復(fù)變函數(shù)論[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2010</p><p>　　[8]歐陽(yáng)露莎,劉敏思,劉寅.留數(shù)理論在積分計(jì)算中的應(yīng)用[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008.3.27(01):109.</p><p>　　[9]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))(第三

40、版)[M].北京:高等教育出社,2001(2008重印)</p><p>　　[10]陳天權(quán).數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：北京大學(xué)出版社,2010</p><p>　　[11]李忠,方麗萍.數(shù)學(xué)分析教程(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2008</p><p>　　[12]李紅,謝松發(fā).復(fù)變函數(shù)論與積分變換[M].武漢:華中科技大學(xué),2003</p>

41、<p>　　[13]李小飛.留數(shù)定理在一類定積分中的計(jì)算[J].黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011.12.31(06)</p><p>　　[14]蓋云英.復(fù)變函數(shù)論與積分變換指導(dǎo)[M].科學(xué)出版社,2004</p><p>　　[15]孫清華,孫吳.復(fù)變函數(shù)方法與技巧[M].武漢：華中科技大學(xué),2003</p><p>　　[16]張瑩.關(guān)于殘數(shù)定理的一些應(yīng)用