低差分一致性函數與Bent函數的構造及其在編碼中的應用.pdf

1、低差分一致性函數和Bent函數在密碼學（分組密碼和流密碼設計）、編碼理論（Reed-Muller碼和二重碼）、結合方案、序列設計、圖論（強正則圖）、組合設計等領域有著重要的應用.本文主要對置換多項式構造、差分4一致置換函數構造、APN函數構造、Bent函數構造和這兩類函數在構造線性碼中的應用等幾個方面進行了研究.
　　基于Dobbertin提出的方法，利用指數和的性質，研究了有限域IF32m上的兩類形如v-1x3m+2和v-1x2

2、-3m+3完全置換單項式的構造.有趣的是，第二類完全置換多項式v-1x2-3m+3和Dickson多項式密切相關.基于萬大慶教授的一個重要結果，我們構造了奇特征域IFp2m上的第三類完全置換多項式v-1xs(pm-1)+1.同時，我們確定了這三類完全置換多項式的復合逆.推廣了Tu等人關于形如(1)(xpm-x+δ)t(pm±1)+1+L(x)置換多項式的構造，得到了幾類具有新指數的這種置換多項式，新構造的置換多項式具有更靈活的參數t.<

3、br>　　基于交織技術，研究了偶特征域上差分4一致置換函數和奇特征域上APN函數的構造.以現(xiàn)有的APN函數為基礎，利用Gold型APN函數，得到了兩類新的差分4一致分段函數；以現(xiàn)有的PN函數為基礎，利用Gold型PN函數，構造了兩類新的奇特征域上的APN函數.通過確定有限域上某些方程的解數，得到了奇特征域上兩個低差分一致性置換函數.
　　2015年，Mesnager利用布爾函數的差分函數，證明了某些Bent函數添加兩個線性函數乘積

4、仍然是Bent函數的結論.本文繼續(xù)Mesnager的工作，以Walsh譜理論為主要工具，研究Bent函數添加多個線性函數乘積得到的新函數的性質，構造更多的Bent函數、Near-bent函數、Semi-bent函數等Plateaued函數.本文研究表明，通過在某些Bent函數添加兩個線性函數這種方法不但可以得到新的Bent函數，而且可以獲得新的Near-bent函數、Semi-bent函數等具有低Walsh譜的函數.
　　建立了P

5、N函數、APN函數和最優(yōu)循環(huán)碼的聯(lián)系.我們利用PN函數和逆函數構造了參數為[pm-1,pm-2m-2,4]p元優(yōu)循環(huán)碼；根據e的奇偶性，確定了5元循環(huán)碼碼С(1,e)的最小距離是2或3.為了得到5元優(yōu)的循環(huán)碼，我們研究了碼С(1,e)的一類子碼С(0,1,e)，利用IF5m上的PN函數和APN函數以及其他的單項式函數構造了參數為[5m-1,5m-2m-2,4]5元優(yōu)循環(huán)碼.
　　最后，論文研究了具有低Walsh譜函數在構造線性碼中