隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性與數(shù)值策略的研究.pdf

1、自從日本數(shù)學家伊藤清在1942年開創(chuàng)隨機微積分以來,隨機系統(tǒng)現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應用到金融學、生物學、化工過程、核反應過程、環(huán)境、人口模型等許多領域中.隨機系統(tǒng)成為熱門研究課題之一.隨機系統(tǒng)把高斯白噪聲當做隨機干擾,其模型參數(shù)包含漂移項和擴散項.系統(tǒng)的隨機干擾源除了高斯白噪聲外,還可能有Possion白噪聲.比如:全球金融風暴引發(fā)的股市大幅振蕩,干擾是不連續(xù)的,激勵的時間與強度也都是隨機的,人們通常用帶Possion跳的隨機系統(tǒng)來刻畫這種現(xiàn)象.

2、另外,在實際工程中,存在著大量由突變現(xiàn)象引起參數(shù)發(fā)生跳變的系統(tǒng),比如:互聯(lián)子系統(tǒng)的變化、外部環(huán)境的突變都會引起參數(shù)的改變,常常用隨機跳變來刻畫這種現(xiàn)象.它既包含了連續(xù)狀態(tài),又包含了離散狀態(tài),是同時包含時間演化和事件驅動兩種動態(tài)機制的系統(tǒng).此類系統(tǒng)通常稱為Markovian切換的隨機系統(tǒng).
　　穩(wěn)定性是系統(tǒng)控制理論的核心問題之一.隨機干擾常常被認為是造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素之一.從系統(tǒng)的結構和參數(shù)的變化范圍,研究系統(tǒng)是否穩(wěn)定已經(jīng)得到了深

3、入研究.隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性包括:矩指數(shù)穩(wěn)定,幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,依概率穩(wěn)定,分布漸近穩(wěn)定.其研究內容和方法遠遠比常微分系統(tǒng)要豐富得多,還有許多地方需要進一步研究.數(shù)值策略是隨機系統(tǒng)另外一個主要研究方向.選擇恰當?shù)臄?shù)值策略是隨機系統(tǒng)模擬仿真的重要內容.不同的數(shù)值策略會導致非常不同模擬仿真效果.數(shù)值收斂性分析和數(shù)值穩(wěn)態(tài)分布研究剛剛起步,需要進一步深入研究.因此,本文選擇穩(wěn)定性和數(shù)值策略作為主要研究內容,其工作如下:
　　隨機系統(tǒng)

4、分布漸近穩(wěn)定比指數(shù)穩(wěn)定性要弱.分布漸近穩(wěn)定是指隨機系統(tǒng)的解收斂于一個分布,而不是以矩或者依概率趨向于平衡解.考慮兩類隨機半線性發(fā)展系統(tǒng)(其線性部分與時間t有關)：帶時滯和帶Possion跳的中立型.首先,通過Banach不動點定理論證系統(tǒng)溫和解存在唯一性.然后,利用溫和解的積分表達式,巧妙使用積分不等式技術,分析溫和解泛函一致有界性和關于初始值的溫和解泛函一致收斂性.再恰當?shù)貥嬙炫c分布漸近穩(wěn)定等價的距離,得到溫和解泛函分布漸近穩(wěn)定的充分

5、條件.并分別給出例子說明充分條件的有效性.其證明方法拋棄了利用強解作為橋梁的繁瑣過程,得到的充分條件也易于驗證.
　　針對兩類隨機反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定的魯棒性.使用平均Lyapunov函數(shù)和隨機Fubini定理克服了It?公式不能直接使用的困難;使用不等式技巧和Gauss公式克服了由反應擴散算子帶來的困難;利用超越方程,刻畫高斯白噪聲參數(shù)小于超越方程正解時,隨機反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)仍然能夠保持全局指數(shù)穩(wěn)定和幾乎必然指數(shù)

6、穩(wěn)定;當高斯白噪聲參數(shù)和連接權矩陣參數(shù)都落在超越方程描述的封閉曲線內時,隨機反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)仍然能夠保持全局指數(shù)穩(wěn)定和幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定.并通過兩個例子說明充分條件的有效性.
　　針對Markovian切換的隨機偏微分系統(tǒng)溫和解的數(shù)值穩(wěn)態(tài)分布.為了克服空間復雜性,首先,在空間上,構造系統(tǒng)的Galerkin逼近格式,然后,在時間上,利用隨機指數(shù)積分器構造系統(tǒng)的Euler-Maruyama格式.再利用測試函數(shù)距離給出數(shù)值解有穩(wěn)態(tài)分布

7、的等價定義.最后,利用半群性質, H?lder不等式,廣義It?公式, Markov性質證明數(shù)值解具有一致有界性和一致收斂性.從而得出數(shù)值解收斂于穩(wěn)態(tài)分布.利用M矩陣把假設具體化,給出一個易于驗證的推論.通過一個例子說明了推論的正確性.推廣了Markovian切換的有限維隨機系統(tǒng)的相關結果.
　　針對兩類帶Possion跳的隨機偏微分系統(tǒng)溫和解的數(shù)值收斂率.為了克服空間復雜性,首先,在空間上,構造系統(tǒng)的Galerkin逼近格式,然

8、后,在時間上,利用隨機指數(shù)積分器構造系統(tǒng)的Euler-Maruyama格式,最后,利用溫和解的積分表達式,半群性質, H?lder不等式, Minkowski積分不等式, It?等距,證明溫和解的數(shù)值收斂率.推廣了帶Possion跳的有限維隨機系統(tǒng)的相關結果.
　　針對Markovian切換的非線性隨機時滯系統(tǒng)數(shù)值解的強收斂.在局部Lipschtiz和單調性假設下,使用廣義的It?公式證明非線性隨機系統(tǒng)解析解的矩有界性.構造θ-E

9、uler-Maruyama數(shù)值策略,利用停時技術分析數(shù)值解p階矩局部有界性以及二階矩有界.在此基礎上,利用連續(xù)形式的θ-Euler-Maruyama數(shù)值策略和Markov性質,得出數(shù)值解與解析解是均方收斂的.并給出一個例子說明數(shù)值策略的有效性.假設放寬了漂移項和擴散項的限制,方法上巧妙地使用停時技術.
　　最后對全文工作進行了總結,并指出了下一步的研究方向.本文關于隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性和數(shù)值策略的研究,不僅豐富了隨機系統(tǒng)的控制理論,而