22280.變系數空間分數階擴散方程的數值方法

1、廈門大學學位論文原創(chuàng)性聲明茲呈交的學位論文，是本人在導師指導下獨立完成的研究成果。本人在論文寫作中參考的其他個人或集體的研究成果，均在文中以明確方式標明。本人依法享有和承擔由此論文產生的權利和責任。聲明人c㈣：影和1波≯占年r月卅日中文摘要中文摘要分數階微分方程近年來得到廣泛的關注，其主要原因是分數階微積分理論自身的迅速發(fā)展，以及其在物理學、化學、生物學、環(huán)境科學、工程學以及金融學等領域中的廣泛應用。分數階微分方程為描述不同物質的記憶和

2、繼承性質提供了強有力的工具。然而，分數階微分方程的解析解是比較復雜的，多數解析解都包含有級數形式或特殊函數。而且，多數分數階微分方程的解不能顯式地得到。這就促使我們必須考慮有效的數值方法。本文討論了有界區(qū)域上一類變系數分數階擴散方程的數值方法，提出了兩種有限差分法和一種有限體積法。在第一章中，我們總結了分數階理論的歷史，本論文討論的問題的背景，以及有關分數階微分方程的先前工作，并給出了我們的研究成果以及論文的結構。在第二章中，基于加權移

3、位的Gr酬d差分算子，我們修正了幾個參數，使算子的適用性推廣到更一般的情形，進而提出了逼近d(0Q1)階RiemaJlⅡLiou啊lle分數階導數的二階格式。利用此格式，我們得到了方程的CrankNic01son格式，借助于矩陣的相關知識，對格式的穩(wěn)定性和收斂性進行了分析。最后給出幾個數值算例，驗證了所提差分法的有效性和廣泛適用性。在第三章中，基于memannLiouviue分數階導數的定義和一般函數的二階逼近，我們導出了memannL