多元函數及其微分學(第13-15章綜合題)

1、<p>　　多元函數及其微分學(第13-15章綜合題)</p><p><b>　　一. 選擇題</b></p><p><b>　　設,則( )</b></p><p>　　(A) ； (B) ；(C) ； (D) </p><p>　　(A); (B); (C);

2、(D).</p><p><b>　　設函數，則</b></p><p>　　(A)極限存在，但在點處不連續(xù);</p><p>　　(B) 極限存在，且在點處連續(xù);</p><p>　　(C)極限不存在，故在點處不連續(xù);</p><p>　　(D)極限不存在，但在點處連續(xù);.</p>

3、<p>　　函數在點偏導數存在是在該點連續(xù)的</p><p>　　(A)充分條件，但不是必要條件; (B)必要條件，但不是充分條件; </p><p>　　(C)充分必要條件; (D)既不是充分條件，也不是必要條件.</p><p>　　設，其中具有二階連續(xù)偏導數，則</p><p>　　(A); (B) ;</p>

4、<p>　　(C) ; (D) .</p><p><b>　　若，，則在是</b></p><p>　　(A)連續(xù)且可微; (B) 連續(xù)但不一定可微; (C) 可微但不一定連續(xù); (D) 不一定連續(xù)也不一定可微.</p><p>　　設為可微分函數，且當時，有及，則當()時</p><p>　　(A); (

5、B) ; (C)0; (D) 1.</p><p>　　設是由方程所定義的隱函數，其中是變量的任意可微函數，為常數，則必有</p><p>　　(A); (B) ; (C) ; (D) .</p><p>　　已知函數均有一階連續(xù)偏導數，那么</p><p>　　(A); (B) ;(C) ; (D) .</p><

6、p>　　設函數在點的某鄰域內可微分，為基本單位向量，則函數u在點處的梯度</p><p>　　(A); (B) ;(C) ;(D). </p><p>　　曲線在點的切線一定平行于</p><p>　　(A) xoy面; (B) yoz面;(C) zox面; (D) 平面. </p><p>　　曲面在點的切平面方程為</p&

7、gt;<p>　　(A) ; (B) ;(C) ; (D) .</p><p>　　曲面與平面在點處的夾角為</p><p>　　(A); (B) ;(C) ; (D) .</p><p>　　平面是曲面與在點處的切平面，則的值是</p><p>　　(A); (B);(C) 2; (D).</p>&

8、lt;p>　　函數滿足的條件極值是</p><p>　　(A) 1;(B) 0;(C); (D). </p><p>　　已知矩形的周長為，將它繞其一邊旋轉而形成的一個旋轉體，當此旋轉體的體積為最大時，矩形兩邊的長分別為</p><p>　　(A) ; (B) ;(C) ; (D). ;</p><p>　　設函數在點處可微，且，

9、則在點</p><p>　　(A)必有極值,可能是極大,也可能是極小; (B)可能有極值，也可能沒有極值; (C)必有極大值; (D)必有極小值.</p><p>　　已知為某函數的全微分，則a等于</p><p>　　(A); (B) 0;(C) 1; (D) 2。</p><p><b>　　二元函數在處</b>

10、</p><p>　　(A)連續(xù)且偏導數存在; (B) 連續(xù)且偏導數不存在;(C) 不連續(xù)且偏導數存在; (D) 不連續(xù)且偏導數不存在;</p><p>　　設函數在點的某鄰域內可微分，則在點處有 ( ).</p><p><b>　　二. 填空題</b></p><p>　　設，且當時，則函數f為

11、 ；z= ;</p><p>　　設，則 ；</p><p>　　設，而，則u關于x的一階導數= ；</p><p>　　設由方程確定，于是z關于x的二階偏導數為 ;</p><p

12、>　　利用變量替換，一定可以把方程化為新的方程 ；</p><p>　　設，，，則(1) ；(2)在 方向上，方向導數有最大值；(3) 在 方向上，方向導數有最小值；(4) 在 方向上，方向導數為0；(5)函數在點的梯度 。</p><

13、;p>　　橢圓上點 處的法線與原點的距離最遠。</p><p>　　函數在點處沿A點指向點方向的方向導數為 ；</p><p>　　設，可導，則 ；</p><p>　　設，其中是由確定的隱函數，則 ；</p><p>

14、;<b>　　判斷題</b></p><p>　　若從對無窮多種方式趨于時，函數都無限接近于A，則。 ( )</p><p>　　二元函數在處偏導數都存在，則在處連續(xù)。 ( )</p><p>　　三元函數的三個偏導數必然同時存在或同時不存在。

15、 ( )</p><p>　　在有偏導數，則在可微分的充要條件是。( )</p><p>　　二元函數在處二階偏導數都連續(xù)，則在處可微。 ( )</p><p>　　光滑曲面在任意點的法向量為。 ( )</p><p&g

16、t;　　函數在處沿任意方向的方向導數都存在，則在可微分。 ( )</p><p>　　函數在處的方向導數必介于與之間。 ( )</p><p>　　梯度方向是函數在該點增加最快的方向。 ( )</p><p>　　一元復合函

17、數具有一階微分形式的不變性，二元和多元函數則沒有。 ( )</p><p><b>　　解答題</b></p><p>　　求函數的全微分，并研究在點處函數的全微分是否存在？</p><p>　　設，其中為由確定的隱函數，試求。</p><p>　　在已知周長為的一切三角

18、形中，求面積最大的三角形及其面積。</p><p>　　求函數在點處沿曲面在該點的指向外側的法向量的方向導數。</p><p>　　設，，，其中都具有一階連續(xù)偏導數，且，求。</p><p>　　設函數具有二階連續(xù)導數，而滿足方程，求。</p><p><b>　　設，求。</b></p><p>

19、;　　設z是x，y的函數，用變換方程為以u，v為自變量的形式。</p><p>　　過曲面上一點，作切平面，并使切平面的法線與z軸的夾角恒為，試求的軌跡方程。</p><p>　　設平面四邊形的各邊長一定，分別為，問對角與具有什么關系時，此四邊形的面積最大。</p><p>　　已知曲線，其中為可微函數，為常數，求曲線上點的切線與xoy面所成角的正切。</p&

20、gt;<p>　　求在上的最大值與最小值。</p><p><b>　　設確定了，求。</b></p><p>　　設函數由方程確定，的偏導數存在，計算+。</p><p>　　設函數且，試確定常數，使函數能滿足方程：</p><p>　　設具有連續(xù)的二階偏導數，且滿足，，，求，。</p>&

21、lt;p>　　設，函數由方程確定，其中具有一階連續(xù)偏導數，連續(xù)，求。</p><p>　　設函數可微，，，，令，求。</p><p>　　設都具有連續(xù)的二階導數，，求。</p><p><b>　　五. 證明題</b></p><p><b>　　證明極限不存在。</b></p>

22、<p>　　確定函數的定義域，并證明此函數在定義域內是連續(xù)的。</p><p>　　設二次可微，且，，試證：。</p><p>　　設為銳角三角形，為其內一點，令，證明：在取極值的點P0處，向量，，所夾的角相等。</p><p><b>　　設，證明。</b></p><p>　　證明：函數，若及于點（0,

23、0）處的鄰域中連續(xù)且有有界的偏導數和，但此函數于點（0,0）處不能微分。</p><p>　　證明：函數，若及于點（0,0）處的鄰域中連續(xù)且有有界的偏導數和，這些偏導數于點（0,0）是不連續(xù)的且在此點的任何鄰域中是無界；然而此函數于點（0,0）可微分。</p><p>　　證明：于某凸形的域內有有界的偏導數和的函數于域內一致連續(xù)。</p><p>　　證明：若函數對

24、變數是連續(xù)的（對每一個固定的值）且有對變數的有界的導函數，則此函數對變數和的總體是連續(xù)的。</p><p><b>　　六、綜合題：</b></p><p><b>　　求橢圓的面積。</b></p><p>　　設函數在點(1,1)處可微，且，，，，求。</p><p>　　有搭制一帳幕，下為圓柱