概率論課件二維隨機變量及其分布

1、一、二維隨機變量,在實際應用中，,有些隨機現象需要同時用兩個或以,上的隨機變量來描述.,例如，,研究某地區(qū)學齡前兒童,前兒童的發(fā)育情況時，,體重,這里，,{某地區(qū)的全部學齡前兒童},上的兩個隨機變量.,在這種情況下，,我們不但要研究,多個隨機變量各自的統(tǒng)計規(guī)律，,而且還要研究它們之,間的統(tǒng)計相依關系，,因而需考察它們的聯合取值的統(tǒng),計規(guī)律，,即多維隨機變量的分布.,由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，,故我們,二維隨機變量,由于從二

2、維推廣到多維一般無實質性的困難，,故我們,二維隨機變量,由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，,故我們,重點討論二維隨機變量.,定義,設隨機試驗的樣本空間為,而,上的二維隨機變量或二維隨機向量.,注：,一般地，,,完,二、二維隨機變量的分布函數,而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系,,與一維情況類,我們也借助“分布函數”來研究二維隨機變量.,定義,對任意實數,二元函數,故需,似,,或稱為隨,二維隨機變量的分布函數,,,記為,或稱為隨,

3、二維隨機變量的分布函數,,,記為,或稱為隨機,若將二維隨機變量,視為平面上隨機點的坐,標，,則分布函數,二維隨機變量的分布函數,二維隨機變量的分布函數,由概率的加法法則，,的概率,二維隨機變量的分布函數,二維隨機變量的分布函數,則可由,二維隨機變量的分布函數,則可由,二維隨機變量的分布函數,則可由,的,邊緣分布函數.,聯合分布函數的性質,完,聯合分布函數的性質,聯合分布函數的性質：,且,(1),注：,以上四個等式可從幾何上進行說明.,（

4、2）,即,對任意固定的,對任意固定的,聯合分布函數的性質,注：,以上四個等式可從幾何上進行說明.,（2）,即,聯合分布函數的性質,注：,以上四個等式可從幾何上進行說明.,（2）,即,對任意固定的,當,對任意固定的,當,（3）,即,完,例1,(1),試確定常數,(2),解,(1),由二維隨機變量的分布函數的性質,,可得,由這三個等式中的第一個等式知,例1,(1),試確定常數,(2),解,(1),由這三個等式中的第一個等式知,例1,(1),

5、試確定常數,(2),解,由這三個等式中的第一個等式知,故由第二、三個等式知,于是得,(1),(2),完,三、二維離散型隨機變量及其概率分布,為二維離散型隨機變量,,均為離散型隨機變量.,定義,值為,則稱,則,均為離,二維離散型隨機變量及其概率分布,二維離散型隨機變量及其概率分布,易見，,滿足下列性質：,與一維情形類似，,有時也將聯合概率分布用表格形,式來表示，,并稱之為聯合概率分布表,分布:,二維離散型隨機變量及其概率分布,分布:,二維

6、離散型隨機變量及其概率分布,分布:,關于,注：,完,聯合概率分布表,與一維情形類似，,有時也將聯合概率分布用表格形,式來表示，,并稱為聯合概率分布表：,聯合概率分布表,聯合概率分布表,對離散型隨機變量而言，,聯合概率分布不僅比聯合,分布函數更加直觀，,而且能夠更加方便地確定,設二維離散型隨機變,量的概率分布為,則,特別地，,由聯合概率分布可以確定聯合分布函數:,聯合概率分布表,特別地，,由聯合概率分布可以確定聯合分布函數:,聯合概率分布

7、表,特別地，,由聯合概率分布可以確定聯合分布函數:,分布：,關于,聯合概率分布表,分布：,關于,聯合概率分布表,分布：,關于,注：,完,例2,設隨機變量,在1,2,3,4四個整數中等可能地取,一個值,,另一個隨機變量,一整數值,,解,且,取不,例2,設隨機變量,在1,2,3,4四個整數中等可能地取,一個值,,另一個隨機變量,一整數值,,解,例2,設隨機變量,在1,2,3,4四個整數中等可能地取,一個值,,另一個隨機變量,一整數值,,解,

8、完,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,,中正面出現的次數,,出現次數之差的絕對值,,解,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,,中正面出現的次數,,出現次數之差的絕對值,,解,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,,中正面出現的次數,,出現次數之差的絕對值,,解,緣分布.,從而得右表,完,例4,設二維隨機變量的聯合概率分布為,解,例4,設二維隨機變量的聯合概率分布為,解,例4,設二維隨機變量的聯合概率分布為,解,完,例5,求,解,完,例6,十個值中取,一個

9、值.,設,并求分布律.,解,數),,所有可能取值為1,2,3,4;,所有可能取值為0,1,2.,的概,率,,例6,十個值中取,一個值.,設,并求分布律.,解,數),,四、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度,定義,為其分布函,數，,若存在一個非負可積的二元函數,任意實數,有,的概率密度(密度函數)，,密度(聯合密度函數).,使得對,(1),連續(xù)型隨機變量及其概率密度,(1),連續(xù)型隨機變量及其概率密度,(1),(3),的概率為,特別地，,邊緣

10、分布函數,(2),連續(xù)型隨機變量及其概率密度,特別地，,邊緣分布函數,連續(xù)型隨機變量及其概率密度,特別地，,邊緣分布函數,上式表明，,是連續(xù)型隨機變量，,且其密度函數為:,同理，,是連續(xù)型隨機變量，,且其密度函數為：,連續(xù)型隨機變量及其概率密度,連續(xù)型隨機變量及其概率密度,度函數.,(4),則有,進一步，,根據偏導數的定義，,可推得：,有,小時，,即，,完,例7,(1),求分布函數,(2),求概率,解,(1),即有,例7,(1),求分布

11、函數,(2),求概率,解,(2),即有,及其下方的部分,,如圖.,于是,例7,(1),求分布函數,(2),求概率,解,于是,(2),例7,(1),求分布函數,(2),求概率,解,于是,(2),例7,(1),求分布函數,(2),求概率,解,于是,(2),完,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊緣密度.,解,(1),,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊緣密度.,解,(2),例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊

12、緣密度.,解,(2),例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊緣密度.,解,(2),即,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊緣密度.,解,(2),即,完,例9,求邊緣概率密度,解,例9,求邊緣概率密度,解,例9,求邊緣概率密度,解,完,二維均勻分布,其面積為,若二維隨機,其它,注：,幾何上為定義在,面.,應用舉例：,二維均勻分布,應用舉例：,二維均勻分布,應用舉例：,的概率與小區(qū)域的,而與,的位置無關，,,上任投一質點，

13、,若質點,面積成正比,,分布.,完,矩形域上的均勻分布,且分別為,其它,其它,仍為均勻分布，,但對其它形狀的區(qū)域,不一定有上述結論.,完,例10,分布,,解,從而,例10,分布,,解,例10,分布,,解,成,完,二維正態(tài)分布,且,的二維正態(tài)分布.,記為,注：,(1),如右圖.,服從二維正態(tài)分布的概率密度函數的典型,二維正態(tài)分布,注：,(1),如右圖.,服從二維正態(tài)分布的概率密度函數的典型,二維正態(tài)分布,注：,(1),如右圖.,服從二維正

14、態(tài)分布的概率密度函數的典型,(2),二維正態(tài)分布的兩個邊緣,即,密度仍是正態(tài)分布，,完,推導,二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布,事實上，,因為,而且,于是,令,則有,令,則有,令,則有,同理,注：,上述結果表明，,二維正態(tài)隨機變量的兩個邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數,亦即,注：,上述結果表明，,二維正態(tài)隨機變量的兩個邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數,亦即,注：,上述結果表明，,二維正態(tài)隨機變量的兩

15、個邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數,亦即,對給定的,態(tài)分布，,但它們的邊緣分布都是相同的,,一般來說是不能確定二維隨,因此僅由關于,完,例11,解,注:,此例說明,,邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機,變量,,其聯合分布不一定是二維正態(tài)分布.,完,課堂練習,1.,將兩封信隨意地投入3個郵筒,,投入第1,2號郵筒中信的數目,,分布及邊緣概率分布.,2.,求(1),(2),的邊緣密度.,完,練習解答,1.,將兩封信隨意地投入3個

16、郵筒,,投入第1,2號郵筒中信的數目,,分布及邊緣概率分布.,解,各自的可能取值顯然均為,由題設知,,因而相應的概率,均為0,,我們將其標在聯合概率分布表中相應位置.,取其它值的概率可由古典概型計算,,由于對,稱性,,我們實際上只需計算下列概率:,練習解答,解,練習解答,解,邊緣概率分布可直接在聯合概率分布表中計算,,的概率分布由,列和產生,(見下表).,練習解答,解,邊緣概率分布可直接在聯合概率分布表中計算,,的概率分布由,列和產生,