第2-123章-2016控制系統(tǒng)的數學模型gg

1、2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,1,第 二 章,控制系統(tǒng)的數學模型,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,2,——分析和設計系統(tǒng)的依據。,數學模型：描述系統(tǒng)輸入量、輸出量以及內部各變量之間相互關系的數學表達式。,建立系統(tǒng)數學模型的方法,解析法(機理分析法) 實驗（辨識/測定）法,,機理分析法：首先對系統(tǒng)的各個部件運動的機理進行分析，根據這些物理規(guī)律或化學規(guī)律（如力學、運動學、電磁學、熱學等）列寫描述系統(tǒng)相

2、應的運動方程；,實驗（辨識/測定）法：在系統(tǒng)上人為地施加上某種測試信號，記錄其輸出相應，然后選擇適當的數學模型，使之能近似地表示這種運動。亦稱為系統(tǒng)辨識。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,3,數學模型：微分方程、傳遞函數、方塊圖、信號流圖、狀態(tài)方程和傳遞矩陣等。在以單輸入單輸出系統(tǒng)為研究目標的經典控制理論中，主要采用微分方程和差分方程描述系統(tǒng)的時域數學模型；采用傳遞函數、脈沖傳遞函數、方塊圖和信號流圖描述系統(tǒng)的復數域

3、數學模型；采用頻率特性描述系統(tǒng)的復頻域數學模型。最優(yōu)控制或多變量系統(tǒng)中，主要采用傳遞矩陣、狀態(tài)方程作為描述系統(tǒng)相對應的數學模型。本章只研究微分方程、傳遞函數、方塊圖和信號流圖等數學模型的建立和應用。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,4,本章主要內容　　　本章主要討論系統(tǒng)微分方程、傳遞函數和結構圖，信號流圖、梅遜公式及其應用。,數學模型,微分方程差分方程狀態(tài)方程,傳遞函數結構圖信號流圖,頻率特性,數學模型

4、-----描述系統(tǒng)變量之間關系的數學表達式,,,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,5,2.2 控制系統(tǒng)的時域數學模型,2.2.1線性元件的微分方程 控制系統(tǒng)是由具有不同功能的元件以一定方式連接而成，因此首先要建立反映各個元件輸入量與輸出量之間關系的運動方程，即微分方程。其中討論的對象主要是時間的函數，所以這類描述通常稱為時間域的數學模型。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,6,圖2-1 Ｒ-L-C電路

5、,,消去中間變量 ，則有:,由基爾霍夫定律得：,電氣網絡系統(tǒng),1、無負載效應的電路,二階線性常系數微分方程,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,7,圖2-2 R-C濾波網絡,消去中間變量i1 、 i2 得,或寫作,2、有負載效應的電路,對于圖2-2所示的電路，在列寫方程時必須考慮后級電路對前級電路的影響，由基爾霍夫定律列出下列方程組：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,8,解: (1) 確

6、定輸入-輸出量: 外作用力F ---輸入量, 位移 y ---輸出量,,,（2 彈簧彈性力:阻尼器的阻尼力:,（3）整理得:,由牛頓第二定律列出方程,,機械位移系統(tǒng),彈簧-質量-阻尼器系統(tǒng)的數據模型,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,9,圖2.2- 電動機傳動系統(tǒng),解：基爾霍夫定律可得電勢平衡方程為,電動機的機械運動方程：,,考慮電動機的性能：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,10,,為電動機的電

7、磁轉矩，,為電動機的電勢常數，,為電動機的轉矩系數。,（ 較?。r，則可以省略,，式可簡化為一階微分方程：,（2.2-7）,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,11,（1）分析元件的工作原理，確定輸入量和輸出量；（2）提出一些合乎實際簡化系統(tǒng)的假設，根據描述元件運動特性的物理或化學定律（如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等），列出每一個元件的輸入與輸出的微分方程，需注意負載效應；（3）消除中間變量，得到只描

8、述輸出量和輸入量（包括擾動量）關系的微分方程；（4）將微分方程整理成標準形式，將與輸出量有關的各項放在方程的左邊，與輸入量有關的各項放在方程的右邊，方程兩邊的導數項均按降冪排列。,用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟：,2.2.2控制系統(tǒng)的微分方程的建立,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,12,一般系統(tǒng)輸入輸出關系微分方程的一般形式,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,13,,,,2024/3/18,第二章 控

9、制系統(tǒng)的數學模型,14,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,15,解：系統(tǒng)由輸入電位器、比例運算放大器、功率放大器、直流電動機,和測速發(fā)電機,給定輸入信號為電壓,擾動輸入為負載轉矩,等部分組成。,被控量為系統(tǒng)的輸出量,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,16,該系統(tǒng)的方塊圖如圖2.2-5所示。,,圖2.2-5 轉速單閉環(huán)調速系統(tǒng)方塊圖,（1）比例運算放大器：,（2）功率放大器通常是由可控晶閘管或PWM變換器等構成

10、的電力電子變換器，在忽略其時間滯后的情況下，可以看作為比例環(huán)節(jié)，即,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,17,消去中間變量，經整理后可得,（3）直流電動機的微分方程如式（2.2-6）所示,（4）測速發(fā)電機連同分壓器，忽略負載效應等也可以將其看作為比例環(huán)節(jié)，即,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,18,對于線性系統(tǒng)，可以應用疊加原理分別討論兩種輸入作用下所引起的轉速變換，然后進行疊加。因此，當負載轉矩,時，輸出量

11、,與輸入電壓,之間的微分方程為,時，輸出量,與負載轉矩,之間的微分方程為,當,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,19,編寫微分方程的一般步驟：,首先確定輸入輸出量（必要時還要考慮擾動量）； 線性系統(tǒng)可利用疊加原理討論. (2)列寫各部分的微分方程。將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入和輸出量，寫出個環(huán)節(jié)的微分方程。(3)消去中間變量，求得系統(tǒng)輸出、輸入量（包括擾動輸入量）關系的微分方程。

12、,編寫控制系統(tǒng)的微分方程時，應注意以下兩個方面：（1）信號傳送的單向性，即前一個元件的輸出是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送；（2）負載效應，即前后相連的兩個元件中，后級對前級的負載效應。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,20,非線性系統(tǒng)：用非線性微分方程描述。,微分方程的類型,線性系統(tǒng)的重要性質：滿足疊加性和均勻性（齊次性）。即： 如果輸入r1(t)—>輸出y1(t)，輸入r2(t)—&g

13、t;輸出y2(t) 則輸入a r1(t)+b r2(t) —>輸出a y1(t)+by2(t),線性系統(tǒng)：用線性微分方程描述。,線性時變系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數是隨時間而變化的。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,21,線性常微分方程：它對應的齊次微分方程的通解；滿足該微分方程右端函數的任一特解。其解的結構形式: 齊次方程的通解和非齊次方程的任一特解之和。電網絡：將較直觀的電路

14、穩(wěn)態(tài)響應作為非齊次方程的任一特解，則響應的結構形式為動態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應之和。動態(tài)響應（或動態(tài)分量）就是描述網絡運動的常微分方程的齊次方程的通解，穩(wěn)態(tài)響應（或穩(wěn)態(tài)分量）則是網絡在相應輸入作用下網絡的動態(tài)響應都衰減到零之后的響應。,2.2.3線性微分方程的求解,線性常系數微分方程在給定初值下的求解可以利用特征多項式解出，或稱古典解法。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,22,求解高階常微分方程，還可利用拉普拉斯變換方法。（1

15、）利用拉普拉斯變換定理在方程兩端求拉普拉斯變換，將時域的微分方程轉化為復數域中的代數方程；（2）對變換后的代數方程求解得到輸出量；（3）對代數方程的輸出量進行部分因式展開；（4）從拉普拉斯變換表2.2-1得到輸出量的拉普拉斯反變換。,傅立葉級數的復指數形式：,式中,傅立葉變換與拉普拉斯變換,2 傅立葉積分和傅立葉變換,,,傅氏變換,傅氏反變換,3 拉氏變換,⑴ 拉氏變換定義,設函數f(t)滿足 ①t0時，f(t)分段連續(xù) 則f

16、(t)的拉氏變換存在，其表達式記作：,拉氏反變換,F(s) —象函數，f(t) —原函數,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,26,拉氏變換基本定理,(1)線性性質: 若f(t)=αf1(t)+βf2(t), 則 F(s) = αF1(s)+βF2(s)(2)微分定理: 若F(s) = L[f(t)], 則有,一步超前為:,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,27

17、,(4)初值定理:,(5)終值定理:,(6)位移定理:,(3)積分定理:,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,28,（8）時滯定理：,（9）卷積定理：,(7)相似定理:,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,29,,單位階躍函數： 單位脈沖函數： 單位斜坡函數： 單位拋物線函數： 正弦函數： 其他函數可以查閱相關表格獲得。,常用函數的拉氏變換：,2024

18、/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,30,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,31,拉氏反變換,F(s)化成下列因式分解形式：,a．F(s)中具有不同的極點時，可展開為,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,32,,c.F(s)含有多重極點時，可展開為,其余各極點的留數確定方法與上同。,b.F(s)含有共扼復數極點時，可展開為,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,33,解：將微分方程兩端取拉普拉斯變

19、換，得,將初始條件代入上式，整理可得輸出量為,部分因式展開,拉普拉斯反變換,第一項為穩(wěn)態(tài)分量-特解后兩項為動態(tài)分量-齊次解,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,34,2.2.4 非線性元件微分方程的線性化,非線性因素的問題可以分兩大類： 一類是系統(tǒng)存在非本質上的非線性問題。此類系統(tǒng)函數為光滑函數（圖2.2-6a），即當輸入量連續(xù)變化時，函數值及其各階導數值的變化都是連續(xù)的。,,圖2.2-6 光滑函數、不光滑函數,另

20、一類是元件本身存在本質上的非線性，如飽和特性、繼電器特性，此類系統(tǒng)函數為不光滑函數（圖2.2-6b、c）。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,35,系統(tǒng)存在非本質上的非線性問題，這類問題可以通過小偏差線性化的方法進行線性化處理；小偏差線性化：由數學的級數理論可知，只要變量在預期工作點處的各階導數或偏導數存在，則在預期工作點的微小鄰域內可將非線性函數通過變量的偏差展開成泰勒級數，如將級數中偏差的高階項加以忽略，可獲得以變量

21、的偏差為自變量的線性函數。這種線性化方法稱為小偏差線性化。 控制系統(tǒng)都有一個穩(wěn)定的工作狀態(tài)以及與之相對應的工作點，稱為預期工作點。 非線性微分方程能進行線性化的一個基本假設：變量偏離其預期工作點的偏差很小。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,36,非線性數學模型線性化的假設,變量對于平衡工作點的偏離較小 非線性函數不僅連續(xù)，而且其多階導數均存在。,,如果某些非線性特性在一定的工作范圍內，可以用線性系統(tǒng)

22、模型近似，稱為非線性模型的線性化。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數展開，取前面的線性項?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,37,預期（額定）工作點,的勵磁電流和對應的發(fā)電機電壓分別,當勵磁電流變化時，發(fā)電機電壓將沿著勵磁曲線變化，變化的增量,存在著非線性關系，函數為,該函數可在額定工作點,的鄰域展開泰勒級數為,式中：,。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,38,偏差為微量時，

23、在上式所示級數中可忽略的二階及二階以上的高階導數項，從而得,即,為勵磁曲線在預期工作點的斜率。因此，在一小范圍內，可以近似地認為勵磁特性用切線這一直線來代替。這樣就把非線性問題線性化了，這種方法稱為“小偏差”線性化。,,即,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,39,對于連續(xù)變化的具有二個變量的非線性函數,預期工作點,的鄰域展開泰勒級數為,,式中：,為,偏離預期工作點的偏差。,偏差甚小，即,，,2024/3/18,第二章 控制

24、系統(tǒng)的數學模型,40,例2-6 已知三相橋式晶閘管整流電路的輸出電壓，其中 為整流變壓器二次側額定相電壓的有效值， 為觸發(fā)延遲角，整流特性曲線如圖2.2-8所示，求該晶閘管整流電路的線性化數學模型。,，,從整流特性呈非線性關系，預期工作點為,,，,觸發(fā)角微小變化時，可作為線性環(huán)節(jié)處理，得,,。,寫成增量方程，得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,41,綜上所述，研究非線性微分方程線性化時，必須注意：（1）應用小

25、偏差線性化時，必須明確預期工作點的參數，對于不同的工作點，得出的線性微分方程的系數是不同的。（2）若系統(tǒng)或元件的原有特性很接近線性，則得到的方程在變化范圍較大時亦適用。（3）線性化只適用于連續(xù)非線性系統(tǒng)。對不連續(xù)非線性特性（如繼電器特性、間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等 ），因為不滿足展開泰勒級數的條件，所以不能線性化。即在工作點不能作泰勒級數展開的系統(tǒng)，不可能作線性化處理。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,42,2.3

26、 控制系統(tǒng)的復數域數學模型,微分方程是在時域內描述系統(tǒng)動態(tài)過程的數學模型。 傳遞函數是在運用拉式變換求解微分方程的過程中引申出來的一種復數域數學模型，可用于研究系統(tǒng)結構或參數變化對系統(tǒng)性能的影響，并由此發(fā)展出用傳遞函數的零點和極點分布、頻率特性等間接分析和設計系統(tǒng)的工程方法。因此，傳遞函數是經典控制理論中最重要的概念，也是最常用的數學模型。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,43,2.3.1 傳遞函數的定義和性質,傳遞

27、函數定義：線性定常系統(tǒng)或元件的傳遞函數是在零初始條件下，輸出信號的拉式變換 與輸入信號的拉式變換 之比，記為 傳遞函數也是數學模型的一種形式，只不過是在復數域中的描述。,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,44,設線性定常系統(tǒng)或元件的微分方程一般形式為：,假設系統(tǒng)或元件處于零初始條件下，即,取拉式變換得,經整理可得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,4

28、5,解：,無源網絡的微分方程為,在零初始條件下，對上面等式兩邊求拉式變換,根據傳遞函數定義，求得該無源網絡的傳遞函數為,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,46,傳遞函數是由系統(tǒng)的微分方程在初始條件為零時經拉氏變換后求得，而拉氏變換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能象征系統(tǒng)的固有特性，即成為描述系統(tǒng)運動的又一形式的數學模型。 由于傳遞函數包含了微分方程式的所有系數，因而根據微分方程就能直接寫出對應的傳遞函數，即把微

29、分算子 用復變量s表示，把c(t) 和r(t)換為相應的象函數C(s)和R(s)，則就把微分方程轉換為相應的傳遞函數。反之亦然。,,二．幾點結論：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,47,。 解：在例2-3已求得直流他勵電動機的微分方程為,設擾動輸入信號,，求得傳遞函數,在零初始條件下，對上面等式兩邊求拉氏變換,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,48,，求得傳遞函數,設給定輸入信號,2024/3

30、/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,49,從上面的討論和舉例不難看出，傳遞函數具有下列性質：（1）傳遞函數是微分方程經拉氏變換導出的，而拉氏變換是一種線性積分運算，因此傳遞函數的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數與微分方程存在一一對應關系。對于一個確定的系統(tǒng)，微分方程是唯一的，其傳遞函數也是唯一的。（3）傳遞函數反映了元件或系統(tǒng)的固有屬性，只與元件或系統(tǒng)的結構、參數有關，它與輸入信號的大小和形式無關，但和輸入信號的作用位置及

31、輸出信號的取出位置有關。因此，傳遞函數可作為系統(tǒng)的動態(tài)數學模型，及系統(tǒng)在復數域的數學模型。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,50,傳遞函數具有下列性質：（4）傳遞函數是一種數學抽象，因此不能反映系統(tǒng)的物理結構。不同性質的物理結構，可以有完全相同的傳遞函數。具有相同形式傳遞函數的不同類型的元件或系統(tǒng)可稱為相似系統(tǒng)。在相同條件下，相似系統(tǒng)具有相同的運動特性。（5）傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)處于相

32、對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運動規(guī)律，即用它求輸出響應只包含零初始條件解（零狀態(tài)響應）這一部分。當初始條件不為零時，系統(tǒng)的全解必須考慮零輸入解（零輸入響應）。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,51,（6）一個傳遞函數只能表示單輸入單輸出的關系，不能反映系統(tǒng)內部中間變量的傳遞關系。對于多輸人多輸出系統(tǒng)，則要用傳遞函數矩陣表示。（7）傳遞函數的拉普拉斯反變換是脈沖響應。脈沖響應函數是指系統(tǒng)

33、對單位脈沖輸入 作用時的輸出響應，即當，時，系統(tǒng)的單位脈沖響應為,,，,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,52,圖 多輸入多輸出系統(tǒng),由圖得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,53,2.3.2 傳遞函數的幾種表示形式,利用傳遞函數分析系統(tǒng)時，還應該注意它的幾種表達形式。1 傳遞函數的有理分式形式（多項式形式）,傳遞函數的分母多項式

34、 稱為系統(tǒng)的特征方程 的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點。,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,54,2 傳遞函數的零極點形式,圖2.3-1 零、極點分布圖,傳遞函數的零點：,分子多項式的根,傳遞函數的極點：,分母多項式的根,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,55,3 傳遞函數的時間常數形式,，,，,v 為含積分環(huán)節(jié)的個數,K 為系統(tǒng)的放大系數或增益。,2024/3/18,第

35、二章 控制系統(tǒng)的數學模型,56,時間常數形式,。,例,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,57,2.3.3 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數 一個實際的控制系統(tǒng)都是由許多獨立元件組合而成的，它們可能是機械的、電子的、光學的、液壓氣動的或其它類型的裝置。雖然這些元件的具體結構和作用原理是多種多樣的，但拋開具體結構和物理特點，從動態(tài)性能或數學模型來看，就可以劃分為幾種較為簡單的低階模型，稱之為典型環(huán)節(jié)。不同的物理系統(tǒng)可屬于同一典型環(huán)節(jié)

36、，同一物理系統(tǒng)也可能成為不同的典型環(huán)節(jié)。線性定常系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)及延遲環(huán)節(jié)等幾種。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,58,,,典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數,比例環(huán)節(jié)特點：輸出不失真、不延遲、成比例地復現輸入信號的變化。,y(t),拉氏變換：,,完全理想的比例環(huán)節(jié)在實際上是不存在的。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,59,,2.積分環(huán)節(jié):輸出量與輸入量對時間的積分

37、成正比。,,當x(t)=1時,y(t)= Kt,(t≥0),T為積分時間常數。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,60,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,61,3.慣性環(huán)節(jié): 環(huán)節(jié)具有一個儲能元件, 輸入量x(t)變化時, 輸出量不立刻達到相應的平衡狀態(tài), 而要經過一定時間，即延緩地反映輸入量的變化規(guī)律。,單位階躍作用下, X(s)=1/s,,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,62,兩個實例

38、：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,63,,,,,例：,C,R,R,L,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,64,,圖2.3-4a的傳遞函數,，圖2.3-4b的傳遞函數,。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,65,4.微分環(huán)節(jié): 理想微分環(huán)節(jié)特點, 在過渡過程中， 輸出量為輸入量x(t)微分。,理想:,一階:,二階:,G(s) = Ks,G(s) =Kτs+1,,,,只有零點，沒有極點。,202

39、4/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,66,,實用微分環(huán)節(jié)：,T<<1時，,純微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應：,,由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,67,式中：,[實例],2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,68,,5.震蕩環(huán)節(jié),特點：環(huán)節(jié)中含有兩種不同能量形式的儲能元件，在輸入變化時，兩者間不斷進行能量交換，致使輸出出現震蕩的性質。

40、,uo,ur,系統(tǒng)的微分方程為：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,69,二階震蕩環(huán)節(jié)的輸入、輸出關系：,自然震蕩角頻率,T為時間常數，ξ為阻尼系數。,ξ>=1, 極點為實數；0<ξ<1, 極點為共軛復數。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,70,在單位階躍輸入作用下：,拉氏反變換：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,71,5. 振蕩環(huán)節(jié):其傳遞函數為,時間常數，

41、 無阻尼自然振蕩頻率， 阻尼比,RLC網絡的傳遞函數,彈簧阻尼系統(tǒng)的傳遞函數,直流他勵電動機的傳遞函數,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,72,解：當 時，有一對共軛復數極點。所以：,解得：,[例]：求質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的 和 。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,73,特點: 輸入信號加入系統(tǒng)后, 輸出端經一定時間后輸出信

42、號，該環(huán)節(jié)又叫時滯環(huán)節(jié)，滯后環(huán)節(jié)。,6.延遲環(huán)節(jié):,x(t),2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,74,例：帶鋼厚度檢測環(huán)節(jié)。帶鋼在A點軋出時，產生厚度偏差Δha，但Δh在B點才能被檢測出。若AB點相距l(xiāng)，帶鋼運動速度V，則時滯為τ=l/v。測厚信號與厚差信號有如下關系：,當τ很小時，可將 展開成臺勞級數：,,復雜的元件或系統(tǒng)可以看作是某些簡單環(huán)節(jié)的組合，一個簡單的系統(tǒng)也可能就是一個典型環(huán)節(jié)。,,2024/3/18,第二

43、章 控制系統(tǒng)的數學模型,75,（七）其他環(huán)節(jié)： 還有一些環(huán)節(jié)如 等，它們的極點在s平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,76,電氣網絡傳遞函數的求取,,無源網絡電路,圖中z1和z2為復數阻抗，由圖得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,77,例 求圖所示電路的傳遞函數,解：,

44、由式（2-41）得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,78,有源網絡電路,設Z1、Z2、Z3、Z4為復數阻抗，,并略去運放的輸入電流，則得,即,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,79,有源網絡2,基于上述同樣的假設，由圖2-22得,消去上述式中的中間變量I1、I2、I3、I4和UB，求得：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,80,例2-2 求圖所示兩個有源網絡的傳遞函數。,1）在圖2-23中，

45、,于是得,圖 PI調節(jié)器,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,81,2）在圖2-24中，,則由式（2-43）得,圖 PD調節(jié)器,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數學模型,82,以上所舉的例子只是一些典型的基本環(huán)節(jié)，而許多復雜的元件或系統(tǒng)可以是上述某些基本環(huán)節(jié)的組合。應當注意：典型環(huán)節(jié)的概念只適用于線性定常控制系統(tǒng)中，且是在一系列理想條件限制下建立的；系統(tǒng)劃分為若干典型環(huán)節(jié)組合時，需注意環(huán)節(jié)和環(huán)節(jié)之間的“負載效應”；