函數的單調性和奇偶性精品講義

1、1第三講函數的單調性、奇偶性一、知識點歸納一、知識點歸納函數的單調性函數的單調性（1）定義：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數（減函數），區(qū)間D為函數y=f(x)的增區(qū)間（減區(qū)間）概括起來，即1212121212121212()()()()()()()()xxxxfxfxfxfxxxxxfxfxfxfx????????????

2、???????????????????增函數或“同增異減”減函數或（2）函數單調性的證明的一般步驟：①設，是區(qū)間D上的任意兩個實數，且1x2x12xx?②作差，并通過因式分解、配方、通分、有力化等方法使其轉化為易于判斷12()()fxfx?正負的式子；③確定的符號；④給出結論12()()fxfx?證明函數單調性時要注意三點：①和的任意性，即從區(qū)間D中任取和，證明單1x2x1x2x調性時不可隨意用量額特殊值代替；②有序性，即通常規(guī)定；③同

3、區(qū)間性，即和12xx?1x必須屬于同一個區(qū)間。2x（3）設復合函數是定義區(qū)間M上的函數，若外函數f(x)與內函數g(x)的單????xgfy?調性相反，則在區(qū)間M上是減函數；若外函數f(x)與內函數g(x)的單調性相????xgfy?同，則在區(qū)間M上是增函數。概括起來，即“同增異減II號”????xgfy?（4）簡單性質：①與單調性相同；與及單調性相反()fx()fx()fx()fx?1()fx②在公共定義域內：增函數增函數是增函數；減

4、函數減函數是減函數；?)(xf)(xg?)(xf)(xg增函數減函數是增函數；減函數增函數是減函數。?)(xf)(xg?)(xf)(xg（5）必須掌握特殊函數單調性①一次函數：ykxb??3（2）若為偶函數，則：①；②圖像關于軸對稱③在關()fx()()fxfx??()fxy()fx于原點對稱的區(qū)間上單調性相反；④幾種特殊的偶函數：，，yx?2yx?cosyx?注：①若二次函數為偶函數，則；②在同一定義域內，2yaxbxc???0b?，

5、=??奇偶奇，；③既是奇函數又是偶函數的函數只有一個解析式=?奇奇奇=???偶偶偶()0fx?二、典例例題解析：二、典例例題解析：題型一題型一單調性的定義單調性的定義例1定義在R上的函數()fx對任意兩個不相等的實數ab總有()()0fafbab???，試判斷()fx單調性。例2若()fx在區(qū)間()ab上是增函數，在區(qū)間()bc上也是增函數，則函數()fx在區(qū)間()()abbc?上（）A.必是增函數B.B.必是減函數C.C.是增函數或減

6、函數D.無法確定單調性變式訓練變式訓練下列說法中正確的有＿＿＿＿＿＿個①若12xxI?，當12xx?時，12()()fxfx?，則()yfx?在I上是增函數②函數2yx?在R上是增函數；③函數1yx??在定義域上是增函數；④1yx?的單調區(qū)間是(0)(0)?????題型二題型二單調性的證明單調性的證明例1證明函數1yxx??在區(qū)間(01)上為減函數例2證明函數2()1fxxx???在其定義域內是減函數例3已知函數()yfx?在(0)??