高考存在性問題的特征分析與考題探求

1、題文科解答題注重對古典概型的考查，也有可能結合統(tǒng)計的知識，或與其他知識結合設計值得注意的是山東省高考試題設計背景在穩(wěn)定中探求創(chuàng)新性42離散型隨機變量分布列和數學期望、方差是理科數學高考的一大熱點2009、2010年高考理科試卷中解答題有分布列和數學期望相關問題這類問題往往閱讀量大，思維要求高，計算量大，得分率較低2011年高考山東省理科解答題估計仍然以離散型隨機變量分布列和數學期望形式出現43統(tǒng)計試題主要考查抽樣方法，莖葉圖、平均數、方

2、差、頻率分布表和頻率分布直方圖、正態(tài)分布抽樣方法主要考查分層抽樣，較為簡單頻率分布直方圖、莖葉圖是高考的另一個熱點，應引起重視其他省的高考試題已經涉及變量的相關性、獨立性檢驗，也應重視這一動向44排列組合與二項式定理試題主要考查兩個計數原理、排列組合的應用問題及二項式定理的通項公式、二項式系數、項的系數及二項式系數的性質，一般是一道選擇題或填空題45近幾年理科高考中，對概率統(tǒng)計的考查逐步由注重基礎知識和基本技能轉向注重綜合能力，重視在知

3、識網絡的交匯點設計試題，如與三角函數、數列、立體幾何、不等式、函數、方程、定積分等知識的結合，在此基礎上對分類與整合、函數與方程、轉化與化歸等數學思想進行考查，明年的高考會繼續(xù)這一特點，加強試題的綜合性，考查綜合能力作者簡介：吳金革，男，山東冠縣人，中學高級教師，濟南市教研室數學中心組高考試題研究組成員，10年來一直參與濟南市高考模擬數學試題的命題工作，在省級報刊上發(fā)表論文20多篇高考“存在性問題”的特征分析與考題探求浙江省湖州新世紀外

4、國語學校蓮花莊校區(qū)313000黃加衛(wèi)眾所周知，數學探究能力的培養(yǎng)對于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力是至關重要的《普通高中數學課程標準》(實驗)也指出：數學探究是貫穿于整個高中數學課程的重要內容，內容不單獨設置，滲透在每個模塊或專題中高中階段至少應安排一次較完整的數學探究因此在現今的高考試題中，對考生所具備的數學探究能力的考查便成了一種常態(tài)而試題中的“存在性問題”恰恰是能夠達到這種考查目標的有效載體下文將對“存在性問題”的有關特征進行闡述，

5、并對2010年高考中的此類問題進行統(tǒng)計與例析1“存在性問題”的涵義、分類及其特點一般而言，涉及到某種數學對象是否存在的問題，常稱為“存在性問題”存在性問題根據其問題特征大體可以分為如下三類：(1)證明某種對象一定存在，可以稱為“肯定型問題”；(2)證明某種對象一定不存在，可以稱為“否定型問題”；(3)探究某種對象是否存在，或者探究某類對象存在的條件，可以稱為“探究型存在性問題”而最后這種題型往往是“存在性問題”的主要呈現形式“存在性問題

6、”往往具有以下的幾個特點：(1)開放性對于“探究型存在性問題”，常以適38合某種性質的結論“是否存在”的形式出現，此類題常用“是否存在”、“是否”、“能否”等描述語言，其結論往往帶有一定的開放性(2)探究性“存在性問題”主要考查學生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據學科特點，將數學知識有機結合并賦予新的情境創(chuàng)設而成的，要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運用所學知識和方法解決問題，對考生的探究能力提出較高的要求(3)綜合性

7、“存在性問題”由于選擇范圍廣，覆蓋知識面大，具有較強的綜合性，對所使用的解題方法也有較高的要求，并且須有一定的預見性和靈活性，因此，是訓練和考查學生的思維能力、分析能力和解決問題能力的好題型22010年高考試題中“存在性問題”的統(tǒng)計分析據筆者統(tǒng)計分析，如表l所示，在2010年的37套高考數學試卷中，共有18套試題中含有一道“存在性問題”，除了在上海理科卷中是一道選擇題之外，其它均是解答題，而且分值均在12分以上其中有十道試題承載的主要知

8、識點與餌析幾何部分有關；五道試題承載的主要知識點與函數、導數部分有關；其它三道試題承載的主要知識點則與數列、不等萬方數據條件相矛盾，故互不相似32幾何類型的“存在性問題”解決的必由之路——數形結合，以數解形無論是具備某些條件的幾何對象的存在性探究，還是幾何對象的代數條件的存在性探究，它們解決問題的思維入口均為——數形結合，以數解形例2(2010年湖北理科卷)已知一條曲線C在，，軸右邊，c上每一點到點F(1，0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差

9、都是1(I)求曲線C的方程；(Ⅱ)是否存在正數m，對于過點M(m，0)且與曲線c有兩個交點A，B的任一直線，都有硝FB‘0)；(Ⅱ)先假定該幾何對象存在，并借助解析幾何的知識將幾何對象代數化，把幾何對象和部分未知量相聯系，相應的幾何條件轉化為與未知量有關的關系式，這樣就把幾何對象的存在性判定轉化為相關未知餐的計算經過必要的代數推理和計算，若未知量有解，即可肯定幾何對象存在，反之，則幾何對象不存在‘‘設過點M(m，0)(m0)的直線z與曲

10、線c的交點為A(戈l，Y。)，B(x2，Y2)設2的方程為z=tym，由x2tym得)，2—4ty一4m：o，△=16(t2ty‘=4xm)0于是fyY2。4‘①，又贏千(z，一l，tylY2=一4mY1)，FB=(x2一l，托)，FAFB0，于是，假設戈l，省2是g(z)=0的兩個實根，且z。菇：則。(1)當茗=a或戈：=口時，則戈=a不是以石)的極值點，此時不合題意；(2)當菇1≠a且戈2≠a時，由于z=a是八菇)的極大值點，故并1

11、a算2即g(n)0，即口2(3一口b)a26一ab—n0，所以b一a故答案為(一∞，一a)；菇：)l)，。)，：。②，又髫=孚，于是不等式②則‘Ⅱ’由‘1’可知’假設存在6與和滿足題意’等價于營魚箐≠)，。兒一[()，。y：)2—2ylY2]10③，由①式，不等式③等價于m2’一6m14t2④對任意實數t，4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2—6m10，即3—2√蠆m32厄由此可知，存在正數m，對于過點M(m，0)且

12、與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，696贏贏0，且m的取值范圍是(3—2厄，32厄)。33函數類型的“存在性問題”解決的重中之重——分類討論(1)當z2一口=o一石1時，貝0并4=2x2一口或并4=2xl—d，于是2a=x2xl=口一b一3，即b=一口一3此時扎=2x2一口=口一b一3~／(8b一1)28一口=口2√石或戈4=2髫1一口=口一b一3一砍了再=可—百一o：口一2廂；(2)當z2一o≠口一xI時，貝4x2一o=2(口一并1