財(cái)務(wù)管理教學(xué)中的數(shù)學(xué)工具應(yīng)用

1、全國(guó)中文核心期刊陰在現(xiàn)有的財(cái)務(wù)管理教科書(shū)中，定量分析基本上使用相同的數(shù)學(xué)模式，缺乏對(duì)隱含在其中的數(shù)學(xué)技巧的挖掘，從而導(dǎo)致初學(xué)者在財(cái)務(wù)定量計(jì)算時(shí)容易混淆。本文對(duì)財(cái)務(wù)管理中定量計(jì)算的技巧進(jìn)行了分析，以期加深學(xué)生對(duì)財(cái)務(wù)管理基本原理的掌握程度，提高教學(xué)質(zhì)量。一、“平移”技巧數(shù)學(xué)中的“平移”通常是指通過(guò)坐標(biāo)軸平行移動(dòng)，化簡(jiǎn)函數(shù)形式。在財(cái)務(wù)管理教學(xué)過(guò)程中，利用數(shù)學(xué)中的“平移”技巧也可以清晰地揭示出一些財(cái)務(wù)指標(biāo)之間的關(guān)系。下面以預(yù)付年金轉(zhuǎn)換為普通年金

2、為例予以說(shuō)明。預(yù)付年金是指在一定時(shí)期內(nèi)，各期期初等額的系列收付款項(xiàng)。它與后付年金的主要區(qū)別在于每期收付款項(xiàng)發(fā)生的時(shí)點(diǎn)不同，前者在期初，后者在期末。因?yàn)楹蟾赌杲鹪诂F(xiàn)實(shí)生活中更常見(jiàn)，所以通常又稱(chēng)之為普通年金。財(cái)務(wù)管理教科書(shū)中一般均以普通年金作為教學(xué)的重點(diǎn)，分別介紹其現(xiàn)值和終值的計(jì)算，并且在教科書(shū)中附普通年金終值系數(shù)表和普通年金現(xiàn)值系數(shù)表，以方便相應(yīng)的終值和現(xiàn)值的計(jì)算。而對(duì)于預(yù)付年金終值或現(xiàn)值的計(jì)算，一般是通過(guò)分析預(yù)付年金與普通年金之間的關(guān)系

3、，利用普通年金終值系數(shù)或現(xiàn)值系數(shù)進(jìn)行求解。但是現(xiàn)有的教科書(shū)中對(duì)于預(yù)付年金與普通年金之間的關(guān)系的分析都比較晦澀，學(xué)生理解較困難。如果利用數(shù)學(xué)中的“平移”技巧，則可以使這種分析變得更直觀(guān)，從而方便學(xué)生理解和記憶。依據(jù)預(yù)付年金的定義，預(yù)付年金可以用下圖表示：為了將預(yù)付年金轉(zhuǎn)換為普通年金，可以將預(yù)付年金中每期發(fā)生的款項(xiàng)向后“平移”一期，根據(jù)復(fù)利終值的計(jì)算公式，平移后每期發(fā)生額均為原發(fā)生額乘以一年期終值系數(shù)，圖示如下：很顯然，上圖正是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的每

4、期發(fā)生額為粵（員垣蚤）的灶年期普通年金。據(jù)此，預(yù)付年金的現(xiàn)值和終值計(jì)算公式可以表示為：預(yù)付年金現(xiàn)值孕災(zāi)粵蚤熏灶越粵伊穴員垣蚤雪伊孕災(zāi)隕云粵蚤熏灶；預(yù)付年金終值云災(zāi)粵蚤熏灶越粵伊穴員垣蚤雪伊云災(zāi)隕云粵蚤熏灶。這樣預(yù)付年金終值或現(xiàn)值的計(jì)算可以根據(jù)普通年金終值系數(shù)或普通年金現(xiàn)值系數(shù)計(jì)算出來(lái)，即只要給定貼現(xiàn)率和期數(shù)，利用普通年金終（現(xiàn)）值系數(shù)表就可以求出預(yù)付年金的終值或現(xiàn)值。這種轉(zhuǎn)換雖然簡(jiǎn)單，但存在一個(gè)缺陷，即預(yù)付年金終（現(xiàn)）值與普通年金終（現(xiàn)

5、）值系數(shù)之間的關(guān)系是非線(xiàn)性關(guān)系，如果想通過(guò)預(yù)付年金終（現(xiàn)）值倒推貼現(xiàn)率（或期數(shù)）非常困難，所以必須用新的辦法。筆者認(rèn)為“輔助圖”技巧可以較好地解決此問(wèn)題。二、“輔助圖”技巧在幾何學(xué)中，“輔助圖”可以使看似毫不相干的幾何圖形緊密聯(lián)系起來(lái)，從而揭示出隱含在其中的復(fù)雜幾何關(guān)系或數(shù)量關(guān)系。在財(cái)務(wù)管理教學(xué)中，一些特殊的財(cái)務(wù)模型可以通過(guò)“輔助圖”技巧轉(zhuǎn)變成基本的財(cái)務(wù)模型，從而利用基本的財(cái)務(wù)原理分析、解決各種復(fù)雜的財(cái)務(wù)問(wèn)題。下面以預(yù)付年金終值計(jì)算為例

6、說(shuō)明，根據(jù)預(yù)付年金的定義繪制它們的終值示意圖如下（假定為緣期）：圖中，黑色實(shí)線(xiàn)部分為緣年期預(yù)付年金終值示意圖，通過(guò)虛線(xiàn)部分的輔助圖，預(yù)付年金即轉(zhuǎn)變成普通年金了。輔助圖對(duì)預(yù)付年金的惟一影響是在“終值點(diǎn)”即第緣期期末增加了一筆款項(xiàng)粵。因?yàn)槭窃诮K值點(diǎn)增加，不需要折算，所以可從作輔助圖后的普通年金終值中扣除增加的這個(gè)粵，使之恢復(fù)到作輔助圖以前的預(yù)付年金終值。從上圖可以看出，添加輔助圖后，整個(gè)圖是一個(gè)完整的遠(yuǎn)年期（比預(yù)付年金增加了一期）普通年金示

7、意圖，可以利用普通年金終值系數(shù)（孕災(zāi)隕云粵蚤熏灶）方便地計(jì)算出其終值，再根據(jù)作圖說(shuō)明，扣除一個(gè)粵后，即為原來(lái)預(yù)付年金的終值。依此類(lèi)推，對(duì)于一個(gè)灶年期的預(yù)付年金，可以通過(guò)作輔助粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤園員圓猿源緣灶原員灶粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤財(cái)務(wù)管理教學(xué)中的數(shù)學(xué)工具應(yīng)用【摘要】本文對(duì)財(cái)務(wù)定量分析中的五種常用的數(shù)學(xué)技巧進(jìn)行了分析，期望能加深學(xué)生對(duì)財(cái)務(wù)管理基本原理的掌握程度，提高財(cái)務(wù)管理教學(xué)質(zhì)量?！娟P(guān)鍵詞

8、】財(cái)務(wù)管理教學(xué)方法數(shù)學(xué)技巧應(yīng)用研究粵粵粵粵粵粵粵園員圓猿源緣灶原員灶湖北黃岡師范學(xué)院夏慶利粵淵員垣蚤冤贊粵淵員垣蚤冤贊粵淵員垣蚤冤贊粵淵員垣蚤冤贊粵淵員垣蚤冤贊粵粵粵粵粵粵園員圓猿源緣園員圓猿源緣遠(yuǎn)緣圓猿員源援財(cái)會(huì)月刊淵理論冤窯苑苑窯陰陰全國(guó)優(yōu)秀經(jīng)濟(jì)期刊圖的辦法，將此灶期的預(yù)付年金轉(zhuǎn)化灶垣員期的普通年金，再利用普通年金的終值計(jì)算公式方便地計(jì)算出預(yù)付年金的終值，即：預(yù)付年金的終值云災(zāi)粵蚤熏灶越粵伊云災(zāi)隕云粵蚤熏灶垣員原粵。同理，可以推導(dǎo)出

9、預(yù)付年金的現(xiàn)值孕災(zāi)粵蚤熏灶越粵伊孕災(zāi)隕云粵蚤熏灶原員垣粵。用輔助圖法推導(dǎo)出來(lái)的預(yù)付年金終（現(xiàn)）值與普通年金終（現(xiàn)）值系數(shù)之間呈線(xiàn)性關(guān)系，為進(jìn)一步分析預(yù)付年金終值與貼現(xiàn)率（或期數(shù)）的關(guān)系打下了基礎(chǔ)。三、“湊項(xiàng)”技巧數(shù)學(xué)中的“湊項(xiàng)”經(jīng)常在因式分解中使用，目的在于對(duì)復(fù)雜的方程或不等式求解。在財(cái)務(wù)管理教學(xué)中利用“湊項(xiàng)”技巧也可以化繁為簡(jiǎn)。下面以遞延年金現(xiàn)值計(jì)算為例，說(shuō)明“湊項(xiàng)”技巧在財(cái)務(wù)管理教學(xué)中的應(yīng)用。遞延年金是指在最初若干期沒(méi)有收付款項(xiàng)的情

10、況下，隨后若干期有等額的系列收付款項(xiàng)?？梢杂孟聢D表示：前皂期沒(méi)有收付款項(xiàng)，從皂垣員期期末開(kāi)始收付款項(xiàng)，共發(fā)生灶原皂期。遞延年金也可根據(jù)定義式進(jìn)行計(jì)算，只是計(jì)算量大、計(jì)算復(fù)雜，但用“湊項(xiàng)”技巧將其轉(zhuǎn)化為普通年金問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算則較為簡(jiǎn)便。比較遞延年金與普通年金容易發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)灶期內(nèi)，僅在前皂期內(nèi)未發(fā)生等額收付款項(xiàng)，在之后的灶原皂期內(nèi)，是典型的等額系列收付款項(xiàng)。如果假設(shè)前皂期也存在等額收付款項(xiàng)，即湊項(xiàng)，如下圖：圖中斜體粵為“湊項(xiàng)”，從圖中可清楚

11、看出，湊項(xiàng)部分剛好也是一個(gè)皂期的普通年金，根據(jù)年金現(xiàn)值計(jì)算公式，“湊項(xiàng)”的年金現(xiàn)值為：孕災(zāi)粵蚤熏皂越粵伊孕災(zāi)隕云粵蚤熏皂，湊項(xiàng)后的系列收付款項(xiàng)為一個(gè)灶期普通年金，其現(xiàn)值為：孕災(zāi)粵蚤熏灶越粵伊孕災(zāi)隕云粵蚤熏灶。所以，該項(xiàng)遞延年金的現(xiàn)值為：孕災(zāi)粵蚤熏灶越粵伊（孕災(zāi)隕云粵蚤熏灶原孕災(zāi)隕云粵蚤熏皂）。同理，可以推算遞延年金的終值計(jì)算公式，從而使遞延年金的現(xiàn)（終）值計(jì)算轉(zhuǎn)換成普通年金現(xiàn)（終）值計(jì)算。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不用死記硬背計(jì)算公式，只需要運(yùn)用

12、“湊項(xiàng)”的數(shù)學(xué)技巧，就可以方便地完成遞延年金的相關(guān)計(jì)算。四、“微分”思想“微分”思想是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其幾何意義可通俗地解釋為：任一曲線(xiàn)在一個(gè)極小的范圍內(nèi)，可以由其切線(xiàn)代替，即“以直代曲”?！皟?nèi)插法”是“微分”思想在財(cái)務(wù)管理中的典型應(yīng)用，主要用于求解投資項(xiàng)目的內(nèi)部報(bào)酬率，或者推算一項(xiàng)投資的回收期等。在計(jì)算機(jī)和一些專(zhuān)用軟件如耘曾糟藻造的幫助下，“內(nèi)插法”幾乎可以解決現(xiàn)實(shí)生活中所有復(fù)雜投資方案報(bào)酬率的計(jì)算。但是，學(xué)生普遍對(duì)“內(nèi)插法”理解不透

13、，所以在運(yùn)用“內(nèi)插法”時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。事實(shí)上，“內(nèi)插法”體現(xiàn)的正是微分學(xué)中“以直代曲”的思想，即將財(cái)務(wù)變量中的非線(xiàn)性關(guān)系在一定范圍內(nèi)假定為線(xiàn)性關(guān)系，從而通過(guò)已知量推算未知量。下面以年金現(xiàn)值系數(shù)與貼現(xiàn)率隕的關(guān)系為例說(shuō)明“內(nèi)插法”中的“微分”思想。年金現(xiàn)值系數(shù)孕災(zāi)隕云粵越云（蚤熏灶）為一非線(xiàn)性函數(shù)，在灶已知，且駐蚤很小時(shí)，根據(jù)“微分”思想孕災(zāi)隕云粵與蚤呈線(xiàn)性關(guān)系，即孕災(zāi)隕云粵越葬伊蚤垣遭。若查表蚤越蚤園時(shí)，孕災(zāi)隕云粵越孕災(zāi)隕云粵園；蚤越

14、蚤員時(shí)，孕災(zāi)隕云粵越孕災(zāi)隕云粵員。則：葬越（孕災(zāi)隕云粵員原孕災(zāi)隕云粵園）衣（蚤員原蚤園）。遭越孕災(zāi)隕云粵園原（孕災(zāi)隕云粵員原孕災(zāi)隕云粵園）衣（蚤員原蚤園）伊蚤園。所以對(duì)于任一孕災(zāi)隕云粵，若孕災(zāi)隕云粵園臆孕災(zāi)隕云粵臆孕災(zāi)隕云粵員，必有：蚤越（孕災(zāi)隕云粵原遭）衣葬越眼孕災(zāi)隕云粵原孕災(zāi)隕云粵園垣（孕災(zāi)隕耘粵員原孕災(zāi)隕云粵園）衣（蚤員原蚤園）伊蚤園伊（蚤員原蚤園）衣孕災(zāi)隕云粵園云粵員原孕災(zāi)隕云粵園）演越（孕災(zāi)隕云粵原孕災(zāi)隕云粵員）衣（孕災(zāi)隕云粵

15、員原孕災(zāi)隕云粵園）伊（蚤員原蚤園）垣蚤園。此式正是“內(nèi)插法”的理論公式。為了便于記憶，還可以用“平行線(xiàn)截取的線(xiàn)段成比例”幫助記憶“內(nèi)插法”的原理。因?yàn)楸壤P(guān)系是線(xiàn)性關(guān)系的一種特殊形式，所以可以利用“微分”思想進(jìn)一步假定，非線(xiàn)性函數(shù)孕災(zāi)隕云粵越云（蚤，灶），在灶已知，且駐蚤很小時(shí)，變量孕災(zāi)隕云粵與蚤呈比例關(guān)系；另外假定線(xiàn)段粵月表示變量蚤，線(xiàn)段閱悅表示變量孕災(zāi)隕云粵，如下圖：平行線(xiàn)粵閱、云耘、月悅截取粵月、閱悅兩直線(xiàn)線(xiàn)段成比例，即：粵云衣粵

16、月越閱耘衣閱悅。假設(shè)其中粵月軸上粵、云、月的坐標(biāo)分別為蚤園、蚤和蚤員；閱悅軸上的閱、耘、悅的坐標(biāo)分別為孕災(zāi)隕云粵園、孕災(zāi)隕云粵和孕災(zāi)隕云粵員。則上述線(xiàn)段比例式可以表示為：（蚤原蚤園）衣（蚤員原蚤園）越（孕災(zāi)隕云粵原孕災(zāi)隕云粵園）衣（孕災(zāi)隕云粵員原孕災(zāi)隕云粵園）。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變換，同樣可以得到內(nèi)插法的理論計(jì)算公式：曾越（孕災(zāi)隕云粵原孕災(zāi)隕云粵員）衣（孕災(zāi)隕云粵員原孕災(zāi)隕云粵園）伊（蚤原蚤園）垣蚤園。“內(nèi)插法”廣泛應(yīng)用于財(cái)務(wù)決策中，比如投資項(xiàng)

17、目?jī)?nèi)部報(bào)酬率的推算、投資回收期的推算等，在計(jì)算機(jī)和電子表格幫助下，重復(fù)運(yùn)用“內(nèi)插法”，可以根據(jù)非線(xiàn)性函數(shù)中的已知量準(zhǔn)確地計(jì)算出其中的未知量。五、“降次”思想“降次”是數(shù)學(xué)中常用的解題方法，它通過(guò)“三角變換”或“太勒展開(kāi)”等方式將高次方程變換成低次或者一次方程，從而對(duì)方程求解。在財(cái)務(wù)管理中也存在大量需要“降次”的情況，如在預(yù)付年金期數(shù)推算中就需要用到“降次”的方法。年金現(xiàn)值系數(shù)是關(guān)于貼現(xiàn)率的高次函數(shù)，用平移的方法推導(dǎo)出來(lái)的預(yù)付年金現(xiàn)值計(jì)算

18、公式中包含年金現(xiàn)值系數(shù)與貼現(xiàn)率的乘積項(xiàng)，相當(dāng)于增加了函數(shù)的“次數(shù)”，而使用“輔助圖”只是增加了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)粵，通過(guò)簡(jiǎn)單的等量變換后，就可以使用上述“內(nèi)插法”推算出貼現(xiàn)率（或者期數(shù)）。所以，在前面預(yù)付年金現(xiàn)值的計(jì)算中既介紹“平移”技巧，又介紹“輔助圖”技巧，盡管“輔助圖”技巧比“平移”技巧顯得復(fù)雜，但正是因?yàn)椤拜o助圖”具有“降次”的功能，所以必須介紹它。主要參考文獻(xiàn)劉建宇援論數(shù)學(xué)能力是理財(cái)?shù)谋貍浠A(chǔ)援職業(yè)技術(shù)，圓園園遠(yuǎn)；源粵閱云耘悅月園員圓