數學系英文論文翻譯

1、冪級數的展開及其應用冪級數的展開及其應用在上一節(jié)中，我們討論了冪級數的收斂性，在其收斂域內，冪級數總是收斂于一個和函數對于一些簡單的冪級數，還可以借助逐項求導或求積分的方法，求出這個和函數本節(jié)將要討論另外一個問題，對于任意一個函數，能否將其展開成一個冪級數，以及展開成的冪級數是否以()fx為和函數下面的討論將解決這一問題()fx一、馬克勞林(Maclaurin)公式冪級數實際上可以視為多項式的延伸，因此在考慮函數能否展開成冪級數時，可以

2、從函()fx數與多項式的關系入手來解決這個問題為此，這里不加證明地給出如下的公式()fx泰勒(Tayl)公式如果函數在的某一鄰域內，有直到階的導數，則在這個鄰()fx0xx?1n?域內有如下公式：(9?5?1)()20000000()()()()()()()()()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxrxn????????????…其中(1)10()()()(1)!nnnfrxxxn??????稱為拉格朗日型余項稱(9?5?1)

3、式為泰勒公式()nrx如果令，就得到00x?，(9?5?2)2()(0)()nnfxfxxxrx??????…此時，()(1)(1)111()()()(1)!(1)!nnnnnffxrxxxnn???????????01???稱(9?5?2)式為馬克勞林公式公式說明，任一函數只要有直到階導數，就可等于某個次多項式與一個余項的()fx1n?n和我們稱下列冪級數(9?5?3)()2(0)(0)()(0)(0)2!!nnfffxffxxxn?

4、????????……為馬克勞林級數那么，它是否以為和函數呢若令馬克勞林級數(9?5?3)的前項和為()fx1n?將它們代入(9?5?5)式，所得與的馬克勞林展開式(9?5?4)完全相同()fx綜上所述，如果函數在包含零的某區(qū)間內有任意階導數，且在此區(qū)間內的馬克勞林公式()fx中的余項以零為極限(當時)，那么，函數就可展開成形如(9?5?4)式的冪級數n??()fx冪級數()00000()()()()()()1!!nnfxfxfxfxxx

5、xxn???????……稱為泰勒級數二、初等函數的冪級數展開式利用馬克勞林公式將函數展開成冪級數的方法，稱為直接展開法()fx例1試將函數展開成的冪級數()xfxe?x解因為()()nxfxe?(123)n?…所以，()(0)(0)(0)(0)1nffff???????…于是我們得到冪級數，(9?5?6)21112!!nxxxn?????……顯然，(9?5?6)式的收斂區(qū)間為，至于(9?5?6)式是否以為和函數，即它是()????()x