重復代數的同調維數和高維叢范疇.pdf

1、為了研究量子群的典范基和代數群的整體正性之間的聯系,Fomin和Zelevinsky在文[FZ1,FZ2]中引入了叢代數的概念.作為這一類代數的一個范疇化模型,文[BM-RRT]引入了叢范疇的概念及其傾斜理論.關于An型叢范疇,也可參見文[CCS1].設A是代數閉域上的有限維遺傳代數,Db(A)是它的有界導出范疇.令F=τ-1[1],其中τ是Db(A)的Auslander-Reiten變換,[1]是Db(A)的平移函子.則叢范疇C(A)

2、定義為軌道范疇Db(A)/F.由文[K],叢范疇是三角范疇,而且是Calabi-Yau維數為2的Calabi-Yau范疇.現在叢范疇已經成為acyclic叢代數及其組合的一個成功的模型.
　　 作為叢范疇的推廣,文[Th]引入了m叢范疇Cm(A),其定義為軌道范疇Db(A)/Fm,這里Fm=τ-1[m].由文[K]知,m叢范疇是三角范疇,而且是Calabi-Yau維數為m+1的Calabio-Yau范疇.類似于叢范疇理解叢組合的

3、方式,m叢范疇為Fomin和Reading定義的m叢組合提供了一種好的代數理解.
　　 對于代數閉域上的有限維遺傳代數A,文[AI]定義了A的m-replicated代數A(m).由文[ABST2],這-類代數給出了m叢范疇及其叢傾斜對象一種很好的解釋,即投射維數不超過m的(廣義)傾斜A(m)-模一一對應于Cm(A)中的叢傾斜對象.當m=1時,也就是duplicated代數情形,參見文[ABST1].這引起了我們進一步研究這類代

4、數的興趣.
　　 文[BMR1]引入了叢傾斜代數的概念,這類代數和叢范疇一起為叢代數及其組合提供了一種好的代數理解.叢傾斜代數也給傳統(tǒng)的傾斜理論帶來了一種新的視角.作為叢傾斜代數的Galois覆蓋,廣義叢傾斜代數在文[Zh4]中引入.它們和叢傾斜代數都是Gorenstein維數至多為1的Gorenstein代數.這引起了我們對叢傾斜代數及廣義叢傾斜代數傾斜理論的研究興趣.
　　 本文第一章給出引言和預備知識.介紹了與本論

5、文有關的基本概念和重要結果,以及研究發(fā)展概況,較全面闡述論文的工作背景和思路.
　　 在第二章,受文[ABST2]的啟發(fā),我們利用代數閉域上有限維遺傳代數的m-replicated代數來研究m叢范疇.我們首先考察了任意忠實的幾乎傾斜A(m)-模的互不同構的不可分解補的性質,定義了mod A(m)中的mutation序列.最后我們利用mod A(m)中的偏mutation序列實現了m叢范疇中的m-cluster mutation.

6、主要結果如下:
　　 定理2.2.4.設T是(廣義)傾斜A(m)-模,B=EndA(m)(T).則代數B的底圖沒有方向圈.
　　 定理2.2.6.設T是忠實的幾乎傾斜A(m)-模,T有t+1個互不同構的不可分解補X0,…,Xt,2m≤t≤2m+1.則
　　 并且,第i個連接序列
　　 0→Xi→Ti→Xi+1→0
　　 是Ext1A(m)(Xi+1,Xi)的一組k-基,進而,對0≤i≤t-1和0≤

7、i+s≤t,正合列
　　 0→Xi→Ti→Ti+1→…→Ti+8+1→Xi+1→0
　　 是Ext8A(m)(Xi+8,Xi)的一組k-基.
　　 定理2.2.11.設N是mod A(m)的m-左部分Lm(A(m))的偏mutation序列,且N有m+1個元素{X0,X1,…,Xm}.則存在忠實的幾乎傾斜A(m)-模T,使得T()Xi,0≤i≤t都是(廣義)傾斜A(m)-模.
　　 定理2.3.2.設(T

8、)是Cm(A)中的幾乎叢傾斜對象,則(T)恰好有m+1個互不同構的不可分解補.
　　 定理2.3.6.設(T)=π(T′)是Cm(A)中的幾乎叢傾斜對象,T=T′()P是投射維數不超過m的忠實的幾乎傾斜A(m)-模,其中P是所有不可分解投射-內射A(m)-模的直和.設X0,…,Xm是T的m+1個投射維數不超過m的互不同構的不可分解補.則由mood A(m)中的m個連接序列誘導的Cm(A)中的(m+3)-angle恰好就是Ausl

9、ander-Reiten(m+3)-angle.
　　 在第三章,我們主要研究代數閉域上的有限維遺傳代數A的m-replicated代數A(m)的某些同調維數,包括A(m)的表示維數,支配維數,mood A(m)中的所有生成子余生成子的自同態(tài)代數的整體維數.主要結果如下:
　　 定理3.1.2.A(m)的表示維數小于等于3.
　　 定理3.1.5.A(m)的支配維數大于等于m.
　　 定理3.2.2.設A

10、是代數閉域上的有限表示型遺傳代數,整數d≥2.則存在mood A(m)的生成子余生成子M使得gl.dim EndA(m)(M)=d的充要條件是存在一條長度大于等于d的T-軌道.
　　 定理3.2.11.設A是代數閉域上的無限表示型遺傳代數,d或者是-個大于等于3的整數,或者是∞.則存在mod A(m)的生成子余生成子M,使得gl.dim EndA(m)(M)=d.
　　 第四章,我們考察叢傾斜代數和廣義叢傾斜代數之間的關

11、系,證明了叢傾斜代數的任意傾斜模可以提升為相應的廣義叢傾斜代數的傾斜模,并初步討論了廣義叢范疇中的叢傾斜對象,極大例外對象和完全例外對象之間的關系.主要結果如下:
　　 定理4.2.5.叢傾斜代數的任意傾斜?？商嵘秊橄鄳膹V義叢傾斜代數的傾斜模.
　　 命題4.2.7.在廣義叢范疇CFm(A)中,
　　 (1)叢傾斜對象一定是極大例外對象；
　　 (2)叢傾斜對象一定是完全例外對象；
　　 (3)