從Rosochatius型可積系統(tǒng)到孤子方程.pdf

1、本文研究連續(xù)與離散的Rosochatius型有限維可積系統(tǒng)的構造,拉直與求解,并揭示它們與孤子方程的關系.主要利用代數曲線的工具以及母函數的技術.
　　 對于連續(xù)情形,具體研究了Neumann-Rosochatius系統(tǒng)與Garnier-Rosochatius系統(tǒng).大致思路和結果如下:首先,從變形的Lax矩陣出發(fā),借助于母函數的技術,構造了相應的Rosochatius類型的Hamilton系統(tǒng)族.接著對這族Rosochatius

2、型Hamilton系統(tǒng)進行“批處理”,通過引入代數曲線與Abel-Jacobi坐標,一舉將整族Rosochatius流拉直,用準確無誤的線性無關性證明了守恒積分的函數獨立性.從而證明了整族Rosochatius系統(tǒng)的Liouville完全可積性.與此同時,也獲得了該族系統(tǒng)的直接求積-獲得了Rosochatius型可積系統(tǒng)在Jacobi簇上的線性形式解.最后,揭示了Rosochatius型可積系統(tǒng)與KdV方程的關系,即它們構成了KdV方程

3、的一個新的可積分解.在此基礎上,根據兩個Rosochatius流的相容解,獲得了KdV方程的擬周期解.
　　 對于離散情形,我們提出并研究了辛映射的Rosochatius變形.我們給出了一個構造辛映射的Rosochatius變形的方法.通過該方法,獲得了Toda辛映射,Volterra辛映射,以及Ablowitz-Ladik辛映射的Rosochatius變形.并且找到了它們的Lax表示,進而用r-矩陣方法證明了它們的可積性.不僅