加權P-harmonic方程解的整體分支結構.pdf

1、本文研究了加權p-harmonic算子△p,wu=△w(|△wu|p-2△wu)在Navier邊值條件(即u=△u=0，x∈()Ω)下的整體分支現象.上式中記△wu=divw(()wu)，()wu=(()u/()x1w1-p1(x),()u/()x2w1-p2(x)，…，()u/()xnw1-pn(x)).對于任意的v∈W1,p0(Ω，w)∩W2,p(Ω)，定義∫Ω△w(|△wu|p-2△wu)vdx=∫Ω|△wu|p-2△wu△wvd

2、x，其中w(x)={wi(x)}ni=0為向量值函數，Wi,p0(Ω，w)表示加權索伯列夫空間(具體定義將在第二節(jié)給出).假設Ω為Rn中的有界區(qū)域，其邊界()Ω是光滑的.任取p∈(1，∞)，考慮如下非線性特征值問題△w(|△wu|p-2△wu)=λ|u|p-2u，x∈Ω，(1.1)u=△u=0，x∈()Ω.本文證明了(1.1)存在著一個最小的、正的特征值λ1=λ1(p)，且λ1(p)是單重的、孤立的.更進一步，我們證明了(1.1)相對應

3、于特征值λ1(p)的特征函數u1=u1(p)嚴格正且滿足()u1/()n＜0，x∈()Ω.我們還得到λ1(p)作為p的函數是連續(xù)的.緊接著我們又討論了如下邊值問題△w(|△wu|p-2△wu)=λ|u|p-2u+g(x，λ，u)，x∈Ω，(1.2)u=△u=0，x∈()Ω.其中函數g(x，λ，u)表示(1.2)的高階項，且滿足適當的增長性條件.我們利用Leray-Schauder度理論證明了(λ1(p)，0)是(1.2)的一個分支點，進