奇多重完全數.pdf

1、設n為正整數，σ(n)：=∑d/nd表示n的所有因子之和。如果σ(n)=2n，我們稱正整數n是一個完全數。設k≥2是一個整數。如果σ(n)=kn，我們稱n是一個多重完全數，也稱k完全數。
　　 本論文主要研究多重完全數的結構、歐拉部分和分布，得到的主要結果如下：
　　 1.奇多重完全數的結構。設n為奇的k完全數，v2(k)≥1為2整除k的最大指數。S為滿足1≤s≤／v2(k)的任意整數。那么n具有下面的形狀:n=pe1

2、1 pe2 2…pes s M2，其中M為正整數，pi為素數且(pi,M)=1，ei為奇整數。如果v2(k)-s有一個非負分拆v2(k)-s=α1+α2+…+αs+b1+b2+…bs，αi≥0，bj≥0，那么素數p1，Ps滿足pi(=)2αi+1-1(mod 2αi+2)指數e1，…es滿足ej三2bj+1-1(rood 2bj+2).稱Π=pe1 1…pes s為n的歐拉部分。直接推論是著名的歐拉定理：奇完全數n具有下面的形狀:n=π

3、αm2，其中π為素數，α為奇數且(π，m)=1，π(=)α(=)1(mod 4)所得結果推廣了Broughan and Q.Zhou的結果(J Number Theory 128：1566-1575,2008)。
　　 2.奇多重完全數的歐拉部分的性質。我們刻畫了奇完全數n=παM2的歐拉部分πα的同余性質：σ(M2)(=)1(mod 4)(→)π(=)α(mod 8),σ(M2)(=)3(mod 4)(→)π(=)α+4(mo

4、d 8).設n=／TΠM2為一個奇2k-完全數，Π為n的歐拉部分。如果M所有的素因子都(=)3(mod 4)且Π-pe1 1…pes s qf1 1…qf2t 2t滿足(σ(Π)，p1…Ps)=1，其中pi=1(mod 4)，qj(=)3mod 4t≥0為整數，那么Ω(σ(Π)2k)(=)0(mod 2)，這里Ω(σ(Π)/2k)為σ(Π)／2k所有素因子計數函數(包括相同的)。設n=Πq2βΠs I=1p2βi I為奇2k-完全數。如

5、果q是一個Fermat素數，即形如q=22t+1的素數，且滿足Πsi=1(2βi+1)≠0(rood q)，那么q2β|σ(Π).
　　 所得結論擴展了Starni的結果(J.Number Theory 116：483-486,2006；J NumberTheory 37：366-369，1991)。
　　 3.奇多重完全數的分布。我們證明對固定的r≥1，滿足ω(n)≤r的奇本原k-完全數n至多為(k-1)4r3個。