兩類變系數非線性偏微分方程的可積性質研究.pdf

1、在物理和工程中的很多數學模型通常最終都歸結到非線性偏微分方程，因此這些方程所具有的各種性質，如顯式精確解、守恒律、Hamilton結構等對于一些物理現象的解釋就顯得十分重要。然而，非線性偏微分方程的數量十分巨大，并且隨著現代科技的飛速發(fā)展，大量新的偏微分方程正從各個學科中涌現。因此對于這些方程的性質的研究也就越來越重要。孤子解是非線性偏微分方程的一類特殊解。如果非線性偏微分方程代表某種物理過程，那么其相應的孤子解也具有確定的物理意義。目

2、前，孤子作為非線性科學的一個重要分支正被廣泛地研究。 本論文以非線性偏微分方程的理論為基礎，利用計算機符號計算對兩類非線性偏微分方程，即變系數Boussinesq方程和變系數五階Korteweg-de Vries(KdV)方程的可積性質進行了研究。主要內容包括以下幾個方面： (1)Painlevé檢測。1983年，Weiss，Tabor和Carnevale通過推廣常微分方程的Painlevé檢測方法，提出了偏微分方程的P

3、ainlevé檢測算法。該方法不僅提供了一個判定某個非線性發(fā)展方程是否完全可積的必要條件，而且利用該方法可以研究非線性發(fā)展方程的可積性質，如Baicklund變換、Lax對等，并使之能夠有效地用于許多非線性系統(tǒng)可積性質的研究。同時，作為“副產品”，可以利用Painlevé截斷展開法構造方程的自Baicklund變換。本文第二章便針對變系數Boussinesq方程進行Painlevé檢測，證明了該方程在一定的約束條件下是Painlevé可

4、積的，即方程具有Painlevé性質。最后，利用Painlevé截斷展開法構造了該方程的自Baicklund變換。 (2)在實際的科學與工程中，變系數非線性偏微分方程相對于常系數方程來說，更能有效地描述實際物理過程，因此，對于變系數模型的研究也就愈發(fā)顯得重要。在第三章，本文介紹一種比較有效的研究變系數非線性偏微分方程的方法。該方法是通過建立一種坐標變換關系，使得在新的坐標系下，將要研究的變系數非線性偏微分方程轉化為常系數標準方程

5、。利用所建立的變換關系，將標準方程的各種性質映射到變系數方程，從而達到研究變系數非線性發(fā)展方程性質的目的。利用該方法，本文第三章就通過分別建立變系數Boussinesq方程和變系數五階KdV方程的坐標變換，將它們分別變換到相應的常系數方程來研究，同時得到了這兩個方程具有可積性質的約束條件。利用已知的常系數Boussinesq方程的一系列性質，通過變換關系映射得到變系數Boussinesq方程的Backlund變換、非線性疊加公式、Lax

6、對等可積性質。 (3)Darboux變換方法是構造非線性方程顯式解的一種極其有效的方法。從一個平凡解出發(fā)(通常取零解)，通過一次或者連續(xù)多次Darboux變換就可以得到方程的單孤子解或者多孤子解。構造這種變換的關鍵就在于確定出一種能夠保持方程的Lax對形式不變的規(guī)范變換。在本文第四章，基于第三章的理論基礎以及所得結論，構造出了變系數Boussinesq方程的Darboux變換以及變系數五階KdV方程的Lax對和Darboux變換