幾類(lèi)特殊線(xiàn)性約束矩陣方程問(wèn)題及其最佳逼近問(wèn)題.pdf

1、約束矩陣方程問(wèn)題是指在滿(mǎn)足一定條件的矩陣集合中求給定的矩陣方程解的問(wèn)題．約束矩陣集合不同，求解的矩陣方程類(lèi)型不同，均構(gòu)成不同的問(wèn)題．隨著科學(xué)與工程技術(shù)的不斷發(fā)展，新的約束矩陣方程問(wèn)題不斷地提出，特別在控制論，信息論，振動(dòng)理論，系統(tǒng)識(shí)別，結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型修正和自動(dòng)系統(tǒng)模擬等尤為顯著，其研究所取得的成果，有直接的重要的應(yīng)用背景．本篇博士論文主要是對(duì)逆特征值問(wèn)題(AX=XA)以及對(duì)矩陣方程AX=B的等式問(wèn)題(即線(xiàn)性約束問(wèn)題)和最小二乘問(wèn)題進(jìn)行了研

2、究，主要工作如下： 1．系統(tǒng)地研究了中心主子陣約束下幾類(lèi)實(shí)矩陣的約束矩陣方程問(wèn)題，內(nèi)容包括中心主子陣約束下中心對(duì)稱(chēng)矩陣的逆特征值問(wèn)題，線(xiàn)性約束問(wèn)題，最小二乘問(wèn)題，左右逆特征值問(wèn)題(AX=XA，YTA=гYT)，方程組(AX=Z，YTA=WT)的最小二乘問(wèn)題；中心主子陣約束下雙對(duì)稱(chēng)矩陣的逆特征值問(wèn)題，線(xiàn)性約束問(wèn)題，最小二乘問(wèn)題；中心主子陣約束下對(duì)稱(chēng)次反對(duì)稱(chēng)矩陣，反對(duì)稱(chēng)次對(duì)稱(chēng)矩陣，雙反對(duì)稱(chēng)矩陣的最小二乘問(wèn)題．通過(guò)分析這幾類(lèi)矩陣與其各

3、自中心主子陣的特殊性質(zhì)，得到了中心主子陣具有和原矩陣相同的結(jié)構(gòu)，從而巧妙地將上述幾類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為階數(shù)減半的幾類(lèi)子矩陣約束下的(左右)逆特征值問(wèn)題，線(xiàn)性約束問(wèn)題，或(方程組)最小二乘問(wèn)題．這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，是這部分區(qū)別于其他子矩陣約束問(wèn)題的特色所在．在此基礎(chǔ)上，徹底地解決了中心主子陣約束下的矩陣方程問(wèn)題，得到了問(wèn)題有解的充要條件，通解表達(dá)式，相應(yīng)問(wèn)題的最佳逼近解以及數(shù)值算例． 2．研究了線(xiàn)性流形上復(fù)對(duì)稱(chēng)矩陣，復(fù)雙對(duì)稱(chēng)矩陣的最小二乘

4、問(wèn)題，利用復(fù)矩陣的奇異值分解，廣義逆等得到了問(wèn)題通解的表達(dá)式以及最佳逼近解．討論了Hermite正定矩陣的最小二乘問(wèn)題，通過(guò)對(duì)Hermite正定矩陣分塊形式的分析，得到了矩陣存在最小二乘解及其最佳逼近解的充要條件，給出了最小二乘解和最佳逼近解的表達(dá)式，并提供了求最佳逼近解的算法和數(shù)值算例． 3．研究了Hermite自反矩陣的逆特征值問(wèn)題、線(xiàn)性約束問(wèn)題和Hermite反自反矩陣的逆特征值問(wèn)題、線(xiàn)性約束問(wèn)題．通過(guò)分析這兩類(lèi)矩陣特征向

5、量的性質(zhì)，巧妙合理地給出了逆特征值問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述．接著定義一種新的內(nèi)積，利用Hermite(反)自反矩陣特有的結(jié)構(gòu)，以及它們與對(duì)稱(chēng)向量，反對(duì)稱(chēng)向量的關(guān)系，獲得了問(wèn)題可解的充要條件，通解表達(dá)式，最佳逼近解以及數(shù)值算例． 4．討論了行(列)對(duì)稱(chēng)矩陣，行(列)反對(duì)稱(chēng)矩陣，行(列)延拓矩陣的性質(zhì)．研究了矩陣方程XHAX=B的行(列)反對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，行(列)延拓矩陣的最小二乘問(wèn)題，得到了問(wèn)題有解的充要條件，通解表達(dá)式以及最佳逼近解．研究了求矩