若干耦合非線性系統(tǒng)的嚴格解研究.pdf

1、作為非線性科學最重要的分支之一，孤立子理論在上個世紀六十年代真正形成并成為非?；钴S和極富魅力的研究領域。KdV方程、mKdV方程、KP方程、NLS方程等經(jīng)典孤子系統(tǒng)不僅在量子場論、凝聚態(tài)物理、等離子體物理、流體力學和非線性光學等物理學中起著重要的作用，而且在通信、化學、地理學、大氣動力學、生物學等其他科技領域里也有著廣泛的應用。美中不足的是，各種模型都只是近似地描述了自然現(xiàn)象。相比于單變量模型，耦合模型能更為全面準確地描述物理現(xiàn)象。這一

2、優(yōu)勢推動了耦合模型的相關研究，對它的分析求解也日益為人們所重視。本文討論了若干耦合非線性模型的嚴格解問題。 ㈠研究了耦合位移淺水波系統(tǒng)的構造和求解問題。最近，鐘萬勰院士和姚征博士運用變分原理，構造了1+1維位移淺水波系統(tǒng)(1DDSWWS)，并且發(fā)現(xiàn)它比KdV方程更適合描述1+1維淺水波。通過考慮流體在三維空間上的能量，我們將1DDSWWS進行推廣，建立了耦合2+1維位移淺水波系統(tǒng)(2DDSWWS)。與傳統(tǒng)的2+1維淺水波模型KP

3、方程相比，2DDSWWS具有如下兩個優(yōu)點：(一)KP方程的孤子解在x方向和y方向上的運動是不對稱的，并且在x方向上僅僅能朝一個方向運動(x正方向或x負方向)，而2DDSWWS孤立波在x方向和y方向上是對稱的，可以朝任意方向運動；(二)在流體力學里推導KP方程時，流體的豎直速度完全被忽略了，而本文推導2DDSWWS時考慮了豎直速度的影響。由此可以相信，2DDSWWS比KP方程更適合描述2+1維淺水波和其它某些物理現(xiàn)象。運用多重尺度展開，我

4、們發(fā)現(xiàn)2DDSWWS在弱二維長波近似下可以退化成KP方程。計算顯示，2DDSWWS具有時空平移不變性，它的嚴格解可以用一個橢圓積分來表示，這個橢圓積分在一定條件下可以退化成橢圓函數(shù)和孤立波解。 ㈡研究了兩個可積耦合離散模型的嚴格解。研究的第一個離散模型是離散耦合KdV-mKdV方程。發(fā)現(xiàn)一個所謂的“離散mKdV方程”也可連續(xù)化成KdV方程，因此可稱它為“離散Kdv-mKdV方程”。將離散KdV-mKdlV方程進行拓廣可建立一個耦

5、合離散系統(tǒng)，我們發(fā)現(xiàn)這個耦合離散系統(tǒng)是離散耦合KdV-mKdV系統(tǒng)，證明了它的LaX可積性，列出了它的三種類型的嚴格解。我們研究的另一個離散模型是耦合Volterra系統(tǒng)。發(fā)現(xiàn)耦合Volterra系統(tǒng)是離散耦合KdV系統(tǒng)，而且具有LaX可積性，得到了它的橢圓周期波和孤立波等重要的局域激發(fā)模式。同時，我們探討了離散系統(tǒng)的對稱性，提出了尋找離散系統(tǒng)點李對稱的”對稱方程法”概念。這個方法只需利用原始方程和對稱方程的約束，不需要用到對稱生成元算

6、子的延拓就可以更為簡便地找到系統(tǒng)的對稱。在實踐中我們把離散變量和連續(xù)變量結合起來考慮，客觀上也簡化了離散方程的對稱求解過程。這兩個離散耦合系統(tǒng)的連續(xù)極限可以用來描述兩層流體系統(tǒng)，也可以用來描述玻色-愛恩斯坦凝聚等等實際物理問題。 ㈢研究了大氣重力波模型耦合非線性Schrodinger(CNLS)方程的Painleve性質(zhì)、對稱性和嚴格解，并將這些結果應用于探討大氣重力波的產(chǎn)生和傳輸?shù)奶匦?。發(fā)現(xiàn)CNLS方程具有Galilean變換